ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funfvima Structured version   GIF version

Theorem funfvima 5333
Description: A function's value in a preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 23-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
funfvima ((Fun 𝐹 B dom 𝐹) → (B A → (𝐹B) (𝐹A)))

Proof of Theorem funfvima
StepHypRef Expression
1 dmres 4575 . . . . . . 7 dom (𝐹A) = (A ∩ dom 𝐹)
21elin2 3121 . . . . . 6 (B dom (𝐹A) ↔ (B A B dom 𝐹))
3 funres 4884 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹A))
4 fvelrn 5241 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝐹A) B dom (𝐹A)) → ((𝐹A)‘B) ran (𝐹A))
53, 4sylan 267 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 B dom (𝐹A)) → ((𝐹A)‘B) ran (𝐹A))
6 fvres 5141 . . . . . . . . . 10 (B A → ((𝐹A)‘B) = (𝐹B))
76eleq1d 2103 . . . . . . . . 9 (B A → (((𝐹A)‘B) ran (𝐹A) ↔ (𝐹B) ran (𝐹A)))
8 df-ima 4301 . . . . . . . . . 10 (𝐹A) = ran (𝐹A)
98eleq2i 2101 . . . . . . . . 9 ((𝐹B) (𝐹A) ↔ (𝐹B) ran (𝐹A))
107, 9syl6rbbr 188 . . . . . . . 8 (B A → ((𝐹B) (𝐹A) ↔ ((𝐹A)‘B) ran (𝐹A)))
115, 10syl5ibrcom 146 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 B dom (𝐹A)) → (B A → (𝐹B) (𝐹A)))
1211ex 108 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (B dom (𝐹A) → (B A → (𝐹B) (𝐹A))))
132, 12syl5bir 142 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((B A B dom 𝐹) → (B A → (𝐹B) (𝐹A))))
1413expd 245 . . . 4 (Fun 𝐹 → (B A → (B dom 𝐹 → (B A → (𝐹B) (𝐹A)))))
1514com12 27 . . 3 (B A → (Fun 𝐹 → (B dom 𝐹 → (B A → (𝐹B) (𝐹A)))))
1615impd 242 . 2 (B A → ((Fun 𝐹 B dom 𝐹) → (B A → (𝐹B) (𝐹A))))
1716pm2.43b 46 1 ((Fun 𝐹 B dom 𝐹) → (B A → (𝐹B) (𝐹A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390  dom cdm 4288  ran crn 4289  cres 4290  cima 4291  Fun wfun 4839  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  funfvima2  5334
  Copyright terms: Public domain W3C validator