Theorem funfvdm 5157

Description: A simplified expression for the value of a function when we know it's a function. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
funfvdm	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘A) = ∪ (𝐹 “ {A}))

Proof of Theorem funfvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvex 5113	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘A) ∈ V)
2		unisng 3567	. . 3 ⊢ ((𝐹‘A) ∈ V → ∪ {(𝐹‘A)} = (𝐹‘A))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → ∪ {(𝐹‘A)} = (𝐹‘A))
4		eqid 2018	. . . . 5 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
5		df-fn 4828	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = dom 𝐹))
6	4, 5	mpbiran2 834	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 ↔ Fun 𝐹)
7		fnsnfv 5153	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘A)} = (𝐹 “ {A}))
8	6, 7	sylanbr 269	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘A)} = (𝐹 “ {A}))
9	8	unieqd 3561	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → ∪ {(𝐹‘A)} = ∪ (𝐹 “ {A}))
10	3, 9	eqtr3d 2052	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘A) = ∪ (𝐹 “ {A}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1226   ∈ wcel 1370  Vcvv 2531  {csn 3346  ∪ cuni 3550  dom cdm 4268   “ cima 4271  Fun wfun 4819   Fn wfn 4820  ‘cfv 4825

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-sbc 2738  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-fv 4833

This theorem is referenced by:  funfvdm2  5158  fvun1  5160