Theorem funcnvuni 4890

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of single-rooted sets is single-rooted. (See funcnv 4882 for "single-rooted" definition.) (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvuni	⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → Fun ◡∪ A)

Distinct variable group:   f,g,A

Proof of Theorem funcnvuni

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 4432	. . . . . . . 8 ⊢ (x = v → ◡x = ◡v)
2	1	eqeq2d 2029	. . . . . . 7 ⊢ (x = v → (z = ◡x ↔ z = ◡v))
3	2	cbvrexv 2508	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A z = ◡x ↔ ∃v ∈ A z = ◡v)
4		cnveq 4432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f = v → ◡f = ◡v)
5	4	funeqd 4845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f = v → (Fun ◡f ↔ Fun ◡v))
6		sseq1 2939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (f = v → (f ⊆ g ↔ v ⊆ g))
7		sseq2 2940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (f = v → (g ⊆ f ↔ g ⊆ v))
8	6, 7	orbi12d 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f = v → ((f ⊆ g ∨ g ⊆ f) ↔ (v ⊆ g ∨ g ⊆ v)))
9	8	ralbidv 2300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f = v → (∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f) ↔ ∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v)))
10	5, 9	anbi12d 445	. . . . . . . . 9 ⊢ (f = v → ((Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) ↔ (Fun ◡v ∧ ∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v))))
11	10	rspcv 2625	. . . . . . . 8 ⊢ (v ∈ A → (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → (Fun ◡v ∧ ∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v))))
12		funeq 4843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = ◡v → (Fun z ↔ Fun ◡v))
13	12	biimprcd 149	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun ◡v → (z = ◡v → Fun z))
14		sseq2 2940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (g = x → (v ⊆ g ↔ v ⊆ x))
15		sseq1 2939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (g = x → (g ⊆ v ↔ x ⊆ v))
16	14, 15	orbi12d 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (g = x → ((v ⊆ g ∨ g ⊆ v) ↔ (v ⊆ x ∨ x ⊆ v)))
17	16	rspcv 2625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ A → (∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v) → (v ⊆ x ∨ x ⊆ v)))
18		cnvss 4431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (v ⊆ x → ◡v ⊆ ◡x)
19		cnvss 4431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ⊆ v → ◡x ⊆ ◡v)
20	18, 19	orim12i 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((v ⊆ x ∨ x ⊆ v) → (◡v ⊆ ◡x ∨ ◡x ⊆ ◡v))
21		sseq12 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((z = ◡v ∧ w = ◡x) → (z ⊆ w ↔ ◡v ⊆ ◡x))
22	21	ancoms 255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((w = ◡x ∧ z = ◡v) → (z ⊆ w ↔ ◡v ⊆ ◡x))
23		sseq12 2941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((w = ◡x ∧ z = ◡v) → (w ⊆ z ↔ ◡x ⊆ ◡v))
24	22, 23	orbi12d 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((w = ◡x ∧ z = ◡v) → ((z ⊆ w ∨ w ⊆ z) ↔ (◡v ⊆ ◡x ∨ ◡x ⊆ ◡v)))
25	20, 24	syl5ibrcom 146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((v ⊆ x ∨ x ⊆ v) → ((w = ◡x ∧ z = ◡v) → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))
26	25	expd 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((v ⊆ x ∨ x ⊆ v) → (w = ◡x → (z = ◡v → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))
27	17, 26	syl6com 31	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v) → (x ∈ A → (w = ◡x → (z = ◡v → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
28	27	rexlimdv 2406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v) → (∃x ∈ A w = ◡x → (z = ◡v → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))
29	28	com23 72	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v) → (z = ◡v → (∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))
30	29	alrimdv 1734	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v) → (z = ◡v → ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))
31	13, 30	anim12ii 325	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun ◡v ∧ ∀g ∈ A (v ⊆ g ∨ g ⊆ v)) → (z = ◡v → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
32	11, 31	syl6com 31	. . . . . . 7 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → (v ∈ A → (z = ◡v → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))))
33	32	rexlimdv 2406	. . . . . 6 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → (∃v ∈ A z = ◡v → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
34	3, 33	syl5bi 141	. . . . 5 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → (∃x ∈ A z = ◡x → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
35	34	alrimiv 1732	. . . 4 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀z(∃x ∈ A z = ◡x → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
36		df-ral 2285	. . . . 5 ⊢ (∀z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)) ↔ ∀z(z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} → (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))
37		vex 2534	. . . . . . . 8 ⊢ z ∈ V
38		eqeq1 2024	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = z → (y = ◡x ↔ z = ◡x))
39	38	rexbidv 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (y = z → (∃x ∈ A y = ◡x ↔ ∃x ∈ A z = ◡x))
40	37, 39	elab 2660	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} ↔ ∃x ∈ A z = ◡x)
41		eqeq1 2024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = w → (y = ◡x ↔ w = ◡x))
42	41	rexbidv 2301	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = w → (∃x ∈ A y = ◡x ↔ ∃x ∈ A w = ◡x))
43	42	ralab 2674	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z) ↔ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))
44	43	anbi2i 433	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)) ↔ (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))))
45	40, 44	imbi12i 228	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} → (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))) ↔ (∃x ∈ A z = ◡x → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
46	45	albii 1335	. . . . 5 ⊢ (∀z(z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} → (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z))) ↔ ∀z(∃x ∈ A z = ◡x → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))))
47	36, 46	bitr2i 174	. . . 4 ⊢ (∀z(∃x ∈ A z = ◡x → (Fun z ∧ ∀w(∃x ∈ A w = ◡x → (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))) ↔ ∀z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))
48	35, 47	sylib 127	. . 3 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → ∀z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)))
49		fununi 4889	. . 3 ⊢ (∀z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (Fun z ∧ ∀w ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x} (z ⊆ w ∨ w ⊆ z)) → Fun ∪ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x})
50	48, 49	syl 14	. 2 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → Fun ∪ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x})
51		cnvuni 4444	. . . 4 ⊢ ◡∪ A = ∪ x ∈ A ◡x
52		vex 2534	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
53	52	cnvex 4779	. . . . 5 ⊢ ◡x ∈ V
54	53	dfiun2 3661	. . . 4 ⊢ ∪ x ∈ A ◡x = ∪ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x}
55	51, 54	eqtri 2038	. . 3 ⊢ ◡∪ A = ∪ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x}
56	55	funeqi 4844	. 2 ⊢ (Fun ◡∪ A ↔ Fun ∪ {y ∣ ∃x ∈ A y = ◡x})
57	50, 56	sylibr 137	1 ⊢ (∀f ∈ A (Fun ◡f ∧ ∀g ∈ A (f ⊆ g ∨ g ⊆ f)) → Fun ◡∪ A)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 616  ∀wal 1224   = wceq 1226   ∈ wcel 1370  {cab 2004  ∀wral 2280  ∃wrex 2281   ⊆ wss 2890  ∪ cuni 3550  ∪ ciun 3627  ^◡ccnv 4267  Fun wfun 4819

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-fun 4827

This theorem is referenced by:  fun11uni  4891