ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funcnvres Structured version   GIF version

Theorem funcnvres 4886
Description: The converse of a restricted function. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
funcnvres (Fun 𝐹(𝐹A) = (𝐹 ↾ (𝐹A)))

Proof of Theorem funcnvres
StepHypRef Expression
1 df-ima 4273 . . . 4 (𝐹A) = ran (𝐹A)
2 df-rn 4271 . . . 4 ran (𝐹A) = dom (𝐹A)
31, 2eqtri 2033 . . 3 (𝐹A) = dom (𝐹A)
43reseq2i 4524 . 2 (𝐹 ↾ (𝐹A)) = (𝐹 ↾ dom (𝐹A))
5 resss 4550 . . . 4 (𝐹A) ⊆ 𝐹
6 cnvss 4423 . . . 4 ((𝐹A) ⊆ 𝐹(𝐹A) ⊆ 𝐹)
75, 6ax-mp 7 . . 3 (𝐹A) ⊆ 𝐹
8 funssres 4856 . . 3 ((Fun 𝐹 (𝐹A) ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹A)) = (𝐹A))
97, 8mpan2 401 . 2 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ dom (𝐹A)) = (𝐹A))
104, 9syl5req 2058 1 (Fun 𝐹(𝐹A) = (𝐹 ↾ (𝐹A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1223  wss 2885  ccnv 4259  dom cdm 4260  ran crn 4261  cres 4262  cima 4263  Fun wfun 4811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ral 2280  df-rex 2281  df-v 2528  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-br 3728  df-opab 3782  df-id 3993  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-fun 4819
This theorem is referenced by:  cnvresid  4887  funcnvres2  4888  f1orescnv  5055  f1imacnv  5056
  Copyright terms: Public domain W3C validator