ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funcnvres Structured version   GIF version

Theorem funcnvres 4915
Description: The converse of a restricted function. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
funcnvres (Fun 𝐹(𝐹A) = (𝐹 ↾ (𝐹A)))

Proof of Theorem funcnvres
StepHypRef Expression
1 df-ima 4301 . . . 4 (𝐹A) = ran (𝐹A)
2 df-rn 4299 . . . 4 ran (𝐹A) = dom (𝐹A)
31, 2eqtri 2057 . . 3 (𝐹A) = dom (𝐹A)
43reseq2i 4552 . 2 (𝐹 ↾ (𝐹A)) = (𝐹 ↾ dom (𝐹A))
5 resss 4578 . . . 4 (𝐹A) ⊆ 𝐹
6 cnvss 4451 . . . 4 ((𝐹A) ⊆ 𝐹(𝐹A) ⊆ 𝐹)
75, 6ax-mp 7 . . 3 (𝐹A) ⊆ 𝐹
8 funssres 4885 . . 3 ((Fun 𝐹 (𝐹A) ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹A)) = (𝐹A))
97, 8mpan2 401 . 2 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ dom (𝐹A)) = (𝐹A))
104, 9syl5req 2082 1 (Fun 𝐹(𝐹A) = (𝐹 ↾ (𝐹A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1242  wss 2911  ccnv 4287  dom cdm 4288  ran crn 4289  cres 4290  cima 4291  Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  cnvresid  4916  funcnvres2  4917  f1orescnv  5085  f1imacnv  5086
  Copyright terms: Public domain W3C validator