ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fornex Structured version   GIF version

Theorem fornex 5684
Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
fornex (A 𝐶 → (𝐹:AontoBB V))

Proof of Theorem fornex
StepHypRef Expression
1 fofun 5050 . . . 4 (𝐹:AontoB → Fun 𝐹)
2 funrnex 5683 . . . 4 (dom 𝐹 𝐶 → (Fun 𝐹 → ran 𝐹 V))
31, 2syl5com 26 . . 3 (𝐹:AontoB → (dom 𝐹 𝐶 → ran 𝐹 V))
4 fof 5049 . . . . 5 (𝐹:AontoB𝐹:AB)
5 fdm 4993 . . . . 5 (𝐹:AB → dom 𝐹 = A)
64, 5syl 14 . . . 4 (𝐹:AontoB → dom 𝐹 = A)
76eleq1d 2103 . . 3 (𝐹:AontoB → (dom 𝐹 𝐶A 𝐶))
8 forn 5052 . . . 4 (𝐹:AontoB → ran 𝐹 = B)
98eleq1d 2103 . . 3 (𝐹:AontoB → (ran 𝐹 V ↔ B V))
103, 7, 93imtr3d 191 . 2 (𝐹:AontoB → (A 𝐶B V))
1110com12 27 1 (A 𝐶 → (𝐹:AontoBB V))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  dom cdm 4288  ran crn 4289  Fun wfun 4839  wf 4841  ontowfo 4843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  f1dmex  5685  f1oeng  6173
  Copyright terms: Public domain W3C validator