ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fores Structured version   GIF version

Theorem fores 5058
Description: Restriction of a function. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
fores ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (𝐹A):Aonto→(𝐹A))

Proof of Theorem fores
StepHypRef Expression
1 funres 4884 . . 3 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹A))
21anim1i 323 . 2 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (Fun (𝐹A) A ⊆ dom 𝐹))
3 df-fn 4848 . . 3 ((𝐹A) Fn A ↔ (Fun (𝐹A) dom (𝐹A) = A))
4 df-ima 4301 . . . . 5 (𝐹A) = ran (𝐹A)
54eqcomi 2041 . . . 4 ran (𝐹A) = (𝐹A)
6 df-fo 4851 . . . 4 ((𝐹A):Aonto→(𝐹A) ↔ ((𝐹A) Fn A ran (𝐹A) = (𝐹A)))
75, 6mpbiran2 847 . . 3 ((𝐹A):Aonto→(𝐹A) ↔ (𝐹A) Fn A)
8 ssdmres 4576 . . . 4 (A ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹A) = A)
98anbi2i 430 . . 3 ((Fun (𝐹A) A ⊆ dom 𝐹) ↔ (Fun (𝐹A) dom (𝐹A) = A))
103, 7, 93bitr4i 201 . 2 ((𝐹A):Aonto→(𝐹A) ↔ (Fun (𝐹A) A ⊆ dom 𝐹))
112, 10sylibr 137 1 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → (𝐹A):Aonto→(𝐹A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wss 2911  dom cdm 4288  ran crn 4289  cres 4290  cima 4291  Fun wfun 4839   Fn wfn 4840  ontowfo 4843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fo 4851
This theorem is referenced by:  resdif  5091
  Copyright terms: Public domain W3C validator