ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fo00 Structured version   GIF version

Theorem fo00 5105
Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fo00 (𝐹:∅–ontoA ↔ (𝐹 = ∅ A = ∅))

Proof of Theorem fo00
StepHypRef Expression
1 fofn 5051 . . . . . 6 (𝐹:∅–ontoA𝐹 Fn ∅)
2 fn0 4961 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3 f10 5103 . . . . . . . 8 ∅:∅–1-1A
4 f1eq1 5030 . . . . . . . 8 (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅–1-1A ↔ ∅:∅–1-1A))
53, 4mpbiri 157 . . . . . . 7 (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅–1-1A)
62, 5sylbi 114 . . . . . 6 (𝐹 Fn ∅ → 𝐹:∅–1-1A)
71, 6syl 14 . . . . 5 (𝐹:∅–ontoA𝐹:∅–1-1A)
87ancri 307 . . . 4 (𝐹:∅–ontoA → (𝐹:∅–1-1A 𝐹:∅–ontoA))
9 df-f1o 4852 . . . 4 (𝐹:∅–1-1-ontoA ↔ (𝐹:∅–1-1A 𝐹:∅–ontoA))
108, 9sylibr 137 . . 3 (𝐹:∅–ontoA𝐹:∅–1-1-ontoA)
11 f1ofo 5076 . . 3 (𝐹:∅–1-1-ontoA𝐹:∅–ontoA)
1210, 11impbii 117 . 2 (𝐹:∅–ontoA𝐹:∅–1-1-ontoA)
13 f1o00 5104 . 2 (𝐹:∅–1-1-ontoA ↔ (𝐹 = ∅ A = ∅))
1412, 13bitri 173 1 (𝐹:∅–ontoA ↔ (𝐹 = ∅ A = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1242  c0 3218   Fn wfn 4840  1-1wf1 4842  ontowfo 4843  1-1-ontowf1o 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator