Theorem fnoa 6027

Description: Functionality and domain of ordinal addition. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnoa	⊢ +𝑜 Fn (On × On)

Proof of Theorem fnoa

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oadd 6005	. 2 ⊢ +𝑜 = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦))
2		vex 2560	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2560	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		oafnex 6024	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧) Fn V
5	3, 4	rdgexg 5976	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V)
6	2, 5	ax-mp 7	. 2 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V
7	1, 6	fnmpt2i 5830	1 ⊢ +𝑜 Fn (On × On)

Syntax hints:   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ↦ cmpt 3818  Oncon0 4100  suc csuc 4102   × cxp 4343   Fn wfn 4897  ‘cfv 4902  reccrdg 5956   +_𝑜 coa 5998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005

This theorem is referenced by:  dmaddpi  6423