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Theorem fnn0ind 8130
 Description: Induction on the integers from 0 to 𝑁 inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fnn0ind.1 (x = 0 → (φψ))
fnn0ind.2 (x = y → (φχ))
fnn0ind.3 (x = (y + 1) → (φθ))
fnn0ind.4 (x = 𝐾 → (φτ))
fnn0ind.5 (𝑁 0ψ)
fnn0ind.6 ((𝑁 0 y 0 y < 𝑁) → (χθ))
Assertion
Ref Expression
fnn0ind ((𝑁 0 𝐾 0 𝐾𝑁) → τ)
Distinct variable groups:   x,𝐾   x,y,𝑁   χ,x   φ,y   ψ,x   τ,x   θ,x
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   χ(y)   θ(y)   τ(y)   𝐾(y)

Proof of Theorem fnn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 8034 . . . 4 (𝐾 0 ↔ (𝐾 0 ≤ 𝐾))
2 nn0z 8041 . . . . . 6 (𝑁 0𝑁 ℤ)
3 0z 8032 . . . . . . . 8 0
4 fnn0ind.1 . . . . . . . . 9 (x = 0 → (φψ))
5 fnn0ind.2 . . . . . . . . 9 (x = y → (φχ))
6 fnn0ind.3 . . . . . . . . 9 (x = (y + 1) → (φθ))
7 fnn0ind.4 . . . . . . . . 9 (x = 𝐾 → (φτ))
8 elnn0z 8034 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 0 ↔ (𝑁 0 ≤ 𝑁))
9 fnn0ind.5 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 0ψ)
108, 9sylbir 125 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 0 ≤ 𝑁) → ψ)
11103adant1 921 . . . . . . . . 9 ((0 𝑁 0 ≤ 𝑁) → ψ)
12 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y ℤ → y ℝ)
13 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
14 0re 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0
15 lelttr 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 y 𝑁 ℝ) → ((0 ≤ y y < 𝑁) → 0 < 𝑁))
16 ltle 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 𝑁 ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
17163adant2 922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 y 𝑁 ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
1815, 17syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 y 𝑁 ℝ) → ((0 ≤ y y < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
1914, 18mp3an1 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((y 𝑁 ℝ) → ((0 ≤ y y < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
2012, 13, 19syl2an 273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((y 𝑁 ℤ) → ((0 ≤ y y < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
2120ex 108 . . . . . . . . . . . . . 14 (y ℤ → (𝑁 ℤ → ((0 ≤ y y < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)))
2221com23 72 . . . . . . . . . . . . 13 (y ℤ → ((0 ≤ y y < 𝑁) → (𝑁 ℤ → 0 ≤ 𝑁)))
23223impib 1101 . . . . . . . . . . . 12 ((y 0 ≤ y y < 𝑁) → (𝑁 ℤ → 0 ≤ 𝑁))
2423impcom 116 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 (y 0 ≤ y y < 𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
25 elnn0z 8034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y 0 ↔ (y 0 ≤ y))
2625anbi1i 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((y 0 y < 𝑁) ↔ ((y 0 ≤ y) y < 𝑁))
27 fnn0ind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 0 y 0 y < 𝑁) → (χθ))
28273expb 1104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 0 (y 0 y < 𝑁)) → (χθ))
298, 26, 28syl2anbr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 0 ≤ 𝑁) ((y 0 ≤ y) y < 𝑁)) → (χθ))
3029expcom 109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y 0 ≤ y) y < 𝑁) → ((𝑁 0 ≤ 𝑁) → (χθ)))
31303impa 1098 . . . . . . . . . . . . 13 ((y 0 ≤ y y < 𝑁) → ((𝑁 0 ≤ 𝑁) → (χθ)))
3231expd 245 . . . . . . . . . . . 12 ((y 0 ≤ y y < 𝑁) → (𝑁 ℤ → (0 ≤ 𝑁 → (χθ))))
3332impcom 116 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 (y 0 ≤ y y < 𝑁)) → (0 ≤ 𝑁 → (χθ)))
3424, 33mpd 13 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 (y 0 ≤ y y < 𝑁)) → (χθ))
3534adantll 445 . . . . . . . . 9 (((0 𝑁 ℤ) (y 0 ≤ y y < 𝑁)) → (χθ))
364, 5, 6, 7, 11, 35fzind 8129 . . . . . . . 8 (((0 𝑁 ℤ) (𝐾 0 ≤ 𝐾 𝐾𝑁)) → τ)
373, 36mpanl1 410 . . . . . . 7 ((𝑁 (𝐾 0 ≤ 𝐾 𝐾𝑁)) → τ)
3837expcom 109 . . . . . 6 ((𝐾 0 ≤ 𝐾 𝐾𝑁) → (𝑁 ℤ → τ))
392, 38syl5 28 . . . . 5 ((𝐾 0 ≤ 𝐾 𝐾𝑁) → (𝑁 0τ))
40393expa 1103 . . . 4 (((𝐾 0 ≤ 𝐾) 𝐾𝑁) → (𝑁 0τ))
411, 40sylanb 268 . . 3 ((𝐾 0 𝐾𝑁) → (𝑁 0τ))
4241impcom 116 . 2 ((𝑁 0 (𝐾 0 𝐾𝑁)) → τ)
43423impb 1099 1 ((𝑁 0 𝐾 0 𝐾𝑁) → τ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857   ≤ cle 6858  ℕ0cn0 7957  ℤcz 8021 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022 This theorem is referenced by: (None)
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