Theorem fimacnvdisj 5017

Description: The preimage of a class disjoint with a mapping's codomain is empty. (Contributed by FL, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fimacnvdisj	⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ (B ∩ 𝐶) = ∅) → (◡𝐹 “ 𝐶) = ∅)

Proof of Theorem fimacnvdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4299	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 = dom ◡𝐹
2		frn 4995	. . . . 5 ⊢ (𝐹:A⟶B → ran 𝐹 ⊆ B)
3	2	adantr 261	. . . 4 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ (B ∩ 𝐶) = ∅) → ran 𝐹 ⊆ B)
4	1, 3	syl5eqssr 2984	. . 3 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ (B ∩ 𝐶) = ∅) → dom ◡𝐹 ⊆ B)
5		ssdisj 3271	. . 3 ⊢ ((dom ◡𝐹 ⊆ B ∧ (B ∩ 𝐶) = ∅) → (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
6	4, 5	sylancom 397	. 2 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ (B ∩ 𝐶) = ∅) → (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
7		imadisj 4630	. 2 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝐶) = ∅ ↔ (dom ◡𝐹 ∩ 𝐶) = ∅)
8	6, 7	sylibr 137	1 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ (B ∩ 𝐶) = ∅) → (◡𝐹 “ 𝐶) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∩ cin 2910   ⊆ wss 2911  ∅c0 3218  ^◡ccnv 4287  dom cdm 4288  ran crn 4289   “ cima 4291  ⟶wf 4841

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-f 4849

This theorem is referenced by: (None)