ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimacnv Structured version   GIF version

Theorem fimacnv 5239
Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv (𝐹:AB → (𝐹B) = A)

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 imassrn 4622 . . 3 (𝐹B) ⊆ ran 𝐹
2 dfdm4 4470 . . . 4 dom 𝐹 = ran 𝐹
3 fdm 4993 . . . . 5 (𝐹:AB → dom 𝐹 = A)
4 ssid 2958 . . . . 5 AA
53, 4syl6eqss 2989 . . . 4 (𝐹:AB → dom 𝐹A)
62, 5syl5eqssr 2984 . . 3 (𝐹:AB → ran 𝐹A)
71, 6syl5ss 2950 . 2 (𝐹:AB → (𝐹B) ⊆ A)
8 imassrn 4622 . . . 4 (𝐹A) ⊆ ran 𝐹
9 frn 4995 . . . 4 (𝐹:AB → ran 𝐹B)
108, 9syl5ss 2950 . . 3 (𝐹:AB → (𝐹A) ⊆ B)
11 ffun 4991 . . . 4 (𝐹:AB → Fun 𝐹)
124, 3syl5sseqr 2988 . . . 4 (𝐹:ABA ⊆ dom 𝐹)
13 funimass3 5226 . . . 4 ((Fun 𝐹 A ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹A) ⊆ BA ⊆ (𝐹B)))
1411, 12, 13syl2anc 391 . . 3 (𝐹:AB → ((𝐹A) ⊆ BA ⊆ (𝐹B)))
1510, 14mpbid 135 . 2 (𝐹:ABA ⊆ (𝐹B))
167, 15eqssd 2956 1 (𝐹:AB → (𝐹B) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   = wceq 1242  wss 2911  ccnv 4287  dom cdm 4288  ran crn 4289  cima 4291  Fun wfun 4839  wf 4841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  fmpt  5262  nn0supp  7970
  Copyright terms: Public domain W3C validator