Theorem fidifsnid 6332

Description: If we remove a single element from a finite set then put it back in, we end up with the original finite set. This strengthens difsnss 3510 from subset to equality when the set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fidifsnid	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)

Proof of Theorem fidifsnid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difsnss 3510	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐴)
2	1	adantl 262	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐴)
3		simpr 103	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
4		velsn 3392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
5	3, 4	sylibr 137	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝐵})
6		elun2 3111	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
8		simplr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
9		simpr 103	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
10	9, 4	sylnibr 602	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
11	8, 10	eldifd 2928	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
12		elun1 3110	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
14		simpll 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
15		simpr 103	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16		simplr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
17		fidceq 6330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 = 𝐵)
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 = 𝐵)
19		df-dc 743	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑥 = 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 = 𝐵))
20	18, 19	sylib 127	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 = 𝐵))
21	7, 13, 20	mpjaodan 711	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
22	21	ex 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})))
23	22	ssrdv 2951	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
24	2, 23	eqssd 2962	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 629  DECID wdc 742   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ∖ cdif 2914   ∪ cun 2915   ⊆ wss 2917  {csn 3375  Fincfn 6221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-en 6222  df-fin 6224

This theorem is referenced by:  findcard2  6346  findcard2s  6347