Theorem feu 5015

Description: There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
feu	⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ 𝐶 ∈ A) → ∃!y ∈ B ⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   y,𝐹   y,A   y,B   y,𝐶

Proof of Theorem feu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 4989	. . . 4 ⊢ (𝐹:A⟶B → 𝐹 Fn A)
2		fneu2 4947	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn A ∧ 𝐶 ∈ A) → ∃!y⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹)
3	1, 2	sylan 267	. . 3 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ 𝐶 ∈ A) → ∃!y⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹)
4		opelf 5005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ ⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹) → (𝐶 ∈ A ∧ y ∈ B))
5	4	simprd 107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ ⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹) → y ∈ B)
6	5	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:A⟶B → (⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹 → y ∈ B))
7	6	pm4.71rd 374	. . . . 5 ⊢ (𝐹:A⟶B → (⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹 ↔ (y ∈ B ∧ ⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹)))
8	7	eubidv 1905	. . . 4 ⊢ (𝐹:A⟶B → (∃!y⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹 ↔ ∃!y(y ∈ B ∧ ⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹)))
9	8	adantr 261	. . 3 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ 𝐶 ∈ A) → (∃!y⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹 ↔ ∃!y(y ∈ B ∧ ⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹)))
10	3, 9	mpbid 135	. 2 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ 𝐶 ∈ A) → ∃!y(y ∈ B ∧ ⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹))
11		df-reu 2307	. 2 ⊢ (∃!y ∈ B ⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹 ↔ ∃!y(y ∈ B ∧ ⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹))
12	10, 11	sylibr 137	1 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ 𝐶 ∈ A) → ∃!y ∈ B ⟨𝐶, y⟩ ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1390  ∃!weu 1897  ∃!wreu 2302  ⟨cop 3370   Fn wfn 4840  ⟶wf 4841

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849

This theorem is referenced by:  fsn  5278  f1ofveu  5443