ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  feu GIF version

Theorem feu 5015
Description: There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
feu ((𝐹:AB 𝐶 A) → ∃!y B𝐶, y 𝐹)
Distinct variable groups:   y,𝐹   y,A   y,B   y,𝐶

Proof of Theorem feu
StepHypRef Expression
1 ffn 4989 . . . 4 (𝐹:AB𝐹 Fn A)
2 fneu2 4947 . . . 4 ((𝐹 Fn A 𝐶 A) → ∃!y𝐶, y 𝐹)
31, 2sylan 267 . . 3 ((𝐹:AB 𝐶 A) → ∃!y𝐶, y 𝐹)
4 opelf 5005 . . . . . . . 8 ((𝐹:AB 𝐶, y 𝐹) → (𝐶 A y B))
54simprd 107 . . . . . . 7 ((𝐹:AB 𝐶, y 𝐹) → y B)
65ex 108 . . . . . 6 (𝐹:AB → (⟨𝐶, y 𝐹y B))
76pm4.71rd 374 . . . . 5 (𝐹:AB → (⟨𝐶, y 𝐹 ↔ (y B 𝐶, y 𝐹)))
87eubidv 1905 . . . 4 (𝐹:AB → (∃!y𝐶, y 𝐹∃!y(y B 𝐶, y 𝐹)))
98adantr 261 . . 3 ((𝐹:AB 𝐶 A) → (∃!y𝐶, y 𝐹∃!y(y B 𝐶, y 𝐹)))
103, 9mpbid 135 . 2 ((𝐹:AB 𝐶 A) → ∃!y(y B 𝐶, y 𝐹))
11 df-reu 2307 . 2 (∃!y B𝐶, y 𝐹∃!y(y B 𝐶, y 𝐹))
1210, 11sylibr 137 1 ((𝐹:AB 𝐶 A) → ∃!y B𝐶, y 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wcel 1390  ∃!weu 1897  ∃!wreu 2302  cop 3370   Fn wfn 4840  wf 4841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849
This theorem is referenced by:  fsn  5278  f1ofveu  5443
  Copyright terms: Public domain W3C validator