ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fabexg GIF version

Theorem fabexg 5020
Description: Existence of a set of functions. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
fabexg.1 𝐹 = {x ∣ (x:AB φ)}
Assertion
Ref Expression
fabexg ((A 𝐶 B 𝐷) → 𝐹 V)
Distinct variable groups:   x,A   x,B
Allowed substitution hints:   φ(x)   𝐶(x)   𝐷(x)   𝐹(x)

Proof of Theorem fabexg
StepHypRef Expression
1 xpexg 4395 . 2 ((A 𝐶 B 𝐷) → (A × B) V)
2 pwexg 3924 . 2 ((A × B) V → 𝒫 (A × B) V)
3 fabexg.1 . . . . 5 𝐹 = {x ∣ (x:AB φ)}
4 fssxp 5001 . . . . . . . 8 (x:ABx ⊆ (A × B))
5 selpw 3358 . . . . . . . 8 (x 𝒫 (A × B) ↔ x ⊆ (A × B))
64, 5sylibr 137 . . . . . . 7 (x:ABx 𝒫 (A × B))
76anim1i 323 . . . . . 6 ((x:AB φ) → (x 𝒫 (A × B) φ))
87ss2abi 3006 . . . . 5 {x ∣ (x:AB φ)} ⊆ {x ∣ (x 𝒫 (A × B) φ)}
93, 8eqsstri 2969 . . . 4 𝐹 ⊆ {x ∣ (x 𝒫 (A × B) φ)}
10 ssab2 3018 . . . 4 {x ∣ (x 𝒫 (A × B) φ)} ⊆ 𝒫 (A × B)
119, 10sstri 2948 . . 3 𝐹 ⊆ 𝒫 (A × B)
12 ssexg 3887 . . 3 ((𝐹 ⊆ 𝒫 (A × B) 𝒫 (A × B) V) → 𝐹 V)
1311, 12mpan 400 . 2 (𝒫 (A × B) V → 𝐹 V)
141, 2, 133syl 17 1 ((A 𝐶 B 𝐷) → 𝐹 V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  {cab 2023  Vcvv 2551  wss 2911  𝒫 cpw 3351   × cxp 4286  wf 4841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849
This theorem is referenced by:  fabex  5021  f1oabexg  5081
  Copyright terms: Public domain W3C validator