ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ores Structured version   GIF version

Theorem f1ores 5084
Description: The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image. (Contributed by NM, 25-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1ores ((𝐹:A1-1B 𝐶A) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))

Proof of Theorem f1ores
StepHypRef Expression
1 f1ssres 5042 . . 3 ((𝐹:A1-1B 𝐶A) → (𝐹𝐶):𝐶1-1B)
2 f1f1orn 5080 . . 3 ((𝐹𝐶):𝐶1-1B → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
31, 2syl 14 . 2 ((𝐹:A1-1B 𝐶A) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
4 df-ima 4301 . . 3 (𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶)
5 f1oeq3 5062 . . 3 ((𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶)))
64, 5ax-mp 7 . 2 ((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
73, 6sylibr 137 1 ((𝐹:A1-1B 𝐶A) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wss 2911  ran crn 4289  cres 4290  cima 4291  1-1wf1 4842  1-1-ontowf1o 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852
This theorem is referenced by:  f1imacnv  5086  f1oresrab  5272  isores3  5398  isoini2  5401  f1imaeng  6208  f1imaen2g  6209
  Copyright terms: Public domain W3C validator