ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ores GIF version

Theorem f1ores 5141
Description: The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image. (Contributed by NM, 25-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1ores ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))

Proof of Theorem f1ores
StepHypRef Expression
1 f1ssres 5099 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵)
2 f1f1orn 5137 . . 3 ((𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵 → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
31, 2syl 14 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
4 df-ima 4358 . . 3 (𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶)
5 f1oeq3 5119 . . 3 ((𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶)))
64, 5ax-mp 7 . 2 ((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
73, 6sylibr 137 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wss 2917  ran crn 4346  cres 4347  cima 4348  1-1wf1 4899  1-1-ontowf1o 4901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909
This theorem is referenced by:  f1imacnv  5143  f1oresrab  5329  isores3  5455  isoini2  5458  f1imaeng  6272  f1imaen2g  6273
  Copyright terms: Public domain W3C validator