Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1opw2 Structured version   GIF version

Theorem f1opw2 5648
 Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on power sets. This version of f1opw 5649 avoids the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
f1opw2.1 (φ𝐹:A1-1-ontoB)
f1opw2.2 (φ → (𝐹𝑎) V)
f1opw2.3 (φ → (𝐹𝑏) V)
Assertion
Ref Expression
f1opw2 (φ → (𝑏 𝒫 A ↦ (𝐹𝑏)):𝒫 A1-1-onto→𝒫 B)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,A   B,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   φ,𝑎,𝑏

Proof of Theorem f1opw2
StepHypRef Expression
1 eqid 2037 . 2 (𝑏 𝒫 A ↦ (𝐹𝑏)) = (𝑏 𝒫 A ↦ (𝐹𝑏))
2 imassrn 4622 . . . . 5 (𝐹𝑏) ⊆ ran 𝐹
3 f1opw2.1 . . . . . . 7 (φ𝐹:A1-1-ontoB)
4 f1ofo 5076 . . . . . . 7 (𝐹:A1-1-ontoB𝐹:AontoB)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (φ𝐹:AontoB)
6 forn 5052 . . . . . 6 (𝐹:AontoB → ran 𝐹 = B)
75, 6syl 14 . . . . 5 (φ → ran 𝐹 = B)
82, 7syl5sseq 2987 . . . 4 (φ → (𝐹𝑏) ⊆ B)
9 f1opw2.3 . . . . 5 (φ → (𝐹𝑏) V)
10 elpwg 3359 . . . . 5 ((𝐹𝑏) V → ((𝐹𝑏) 𝒫 B ↔ (𝐹𝑏) ⊆ B))
119, 10syl 14 . . . 4 (φ → ((𝐹𝑏) 𝒫 B ↔ (𝐹𝑏) ⊆ B))
128, 11mpbird 156 . . 3 (φ → (𝐹𝑏) 𝒫 B)
1312adantr 261 . 2 ((φ 𝑏 𝒫 A) → (𝐹𝑏) 𝒫 B)
14 imassrn 4622 . . . . 5 (𝐹𝑎) ⊆ ran 𝐹
15 dfdm4 4470 . . . . . 6 dom 𝐹 = ran 𝐹
16 f1odm 5073 . . . . . . 7 (𝐹:A1-1-ontoB → dom 𝐹 = A)
173, 16syl 14 . . . . . 6 (φ → dom 𝐹 = A)
1815, 17syl5eqr 2083 . . . . 5 (φ → ran 𝐹 = A)
1914, 18syl5sseq 2987 . . . 4 (φ → (𝐹𝑎) ⊆ A)
20 f1opw2.2 . . . . 5 (φ → (𝐹𝑎) V)
21 elpwg 3359 . . . . 5 ((𝐹𝑎) V → ((𝐹𝑎) 𝒫 A ↔ (𝐹𝑎) ⊆ A))
2220, 21syl 14 . . . 4 (φ → ((𝐹𝑎) 𝒫 A ↔ (𝐹𝑎) ⊆ A))
2319, 22mpbird 156 . . 3 (φ → (𝐹𝑎) 𝒫 A)
2423adantr 261 . 2 ((φ 𝑎 𝒫 B) → (𝐹𝑎) 𝒫 A)
25 elpwi 3360 . . . . . . 7 (𝑎 𝒫 B𝑎B)
2625adantl 262 . . . . . 6 ((𝑏 𝒫 A 𝑎 𝒫 B) → 𝑎B)
27 foimacnv 5087 . . . . . 6 ((𝐹:AontoB 𝑎B) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
285, 26, 27syl2an 273 . . . . 5 ((φ (𝑏 𝒫 A 𝑎 𝒫 B)) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
2928eqcomd 2042 . . . 4 ((φ (𝑏 𝒫 A 𝑎 𝒫 B)) → 𝑎 = (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
30 imaeq2 4607 . . . . 5 (𝑏 = (𝐹𝑎) → (𝐹𝑏) = (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
3130eqeq2d 2048 . . . 4 (𝑏 = (𝐹𝑎) → (𝑎 = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = (𝐹 “ (𝐹𝑎))))
3229, 31syl5ibrcom 146 . . 3 ((φ (𝑏 𝒫 A 𝑎 𝒫 B)) → (𝑏 = (𝐹𝑎) → 𝑎 = (𝐹𝑏)))
33 f1of1 5068 . . . . . . 7 (𝐹:A1-1-ontoB𝐹:A1-1B)
343, 33syl 14 . . . . . 6 (φ𝐹:A1-1B)
35 elpwi 3360 . . . . . . 7 (𝑏 𝒫 A𝑏A)
3635adantr 261 . . . . . 6 ((𝑏 𝒫 A 𝑎 𝒫 B) → 𝑏A)
37 f1imacnv 5086 . . . . . 6 ((𝐹:A1-1B 𝑏A) → (𝐹 “ (𝐹𝑏)) = 𝑏)
3834, 36, 37syl2an 273 . . . . 5 ((φ (𝑏 𝒫 A 𝑎 𝒫 B)) → (𝐹 “ (𝐹𝑏)) = 𝑏)
3938eqcomd 2042 . . . 4 ((φ (𝑏 𝒫 A 𝑎 𝒫 B)) → 𝑏 = (𝐹 “ (𝐹𝑏)))
40 imaeq2 4607 . . . . 5 (𝑎 = (𝐹𝑏) → (𝐹𝑎) = (𝐹 “ (𝐹𝑏)))
4140eqeq2d 2048 . . . 4 (𝑎 = (𝐹𝑏) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑏 = (𝐹 “ (𝐹𝑏))))
4239, 41syl5ibrcom 146 . . 3 ((φ (𝑏 𝒫 A 𝑎 𝒫 B)) → (𝑎 = (𝐹𝑏) → 𝑏 = (𝐹𝑎)))
4332, 42impbid 120 . 2 ((φ (𝑏 𝒫 A 𝑎 𝒫 B)) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑎 = (𝐹𝑏)))
441, 13, 24, 43f1o2d 5647 1 (φ → (𝑏 𝒫 A ↦ (𝐹𝑏)):𝒫 A1-1-onto→𝒫 B)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ⊆ wss 2911  𝒫 cpw 3351   ↦ cmpt 3809  ◡ccnv 4287  dom cdm 4288  ran crn 4289   “ cima 4291  –1-1→wf1 4842  –onto→wfo 4843  –1-1-onto→wf1o 4844 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852 This theorem is referenced by:  f1opw  5649
 Copyright terms: Public domain W3C validator