ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv3 Structured version   GIF version

Theorem f1ocnvfv3 5444
Description: Value of the converse of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv3 ((𝐹:A1-1-ontoB 𝐶 B) → (𝐹𝐶) = (x A (𝐹x) = 𝐶))
Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,𝐶   x,𝐹

Proof of Theorem f1ocnvfv3
StepHypRef Expression
1 f1ocnvdm 5364 . . 3 ((𝐹:A1-1-ontoB 𝐶 B) → (𝐹𝐶) A)
2 f1ocnvfvb 5363 . . . . . 6 ((𝐹:A1-1-ontoB x A 𝐶 B) → ((𝐹x) = 𝐶 ↔ (𝐹𝐶) = x))
323expa 1103 . . . . 5 (((𝐹:A1-1-ontoB x A) 𝐶 B) → ((𝐹x) = 𝐶 ↔ (𝐹𝐶) = x))
43an32s 502 . . . 4 (((𝐹:A1-1-ontoB 𝐶 B) x A) → ((𝐹x) = 𝐶 ↔ (𝐹𝐶) = x))
5 eqcom 2039 . . . 4 (x = (𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶) = x)
64, 5syl6bbr 187 . . 3 (((𝐹:A1-1-ontoB 𝐶 B) x A) → ((𝐹x) = 𝐶x = (𝐹𝐶)))
71, 6riota5 5436 . 2 ((𝐹:A1-1-ontoB 𝐶 B) → (x A (𝐹x) = 𝐶) = (𝐹𝐶))
87eqcomd 2042 1 ((𝐹:A1-1-ontoB 𝐶 B) → (𝐹𝐶) = (x A (𝐹x) = 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  ccnv 4287  1-1-ontowf1o 4844  cfv 4845  crio 5410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator