ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imaeq Structured version   GIF version

Theorem f1imaeq 5335
Description: Taking images under a one-to-one function preserves equality. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1imaeq ((𝐹:A1-1B (𝐶A 𝐷A)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1imaeq
StepHypRef Expression
1 f1imass 5334 . . 3 ((𝐹:A1-1B (𝐶A 𝐷A)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))
2 f1imass 5334 . . . 4 ((𝐹:A1-1B (𝐷A 𝐶A)) → ((𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶) ↔ 𝐷𝐶))
32ancom2s 488 . . 3 ((𝐹:A1-1B (𝐶A 𝐷A)) → ((𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶) ↔ 𝐷𝐶))
41, 3anbi12d 445 . 2 ((𝐹:A1-1B (𝐶A 𝐷A)) → (((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) (𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶)) ↔ (𝐶𝐷 𝐷𝐶)))
5 eqss 2933 . 2 ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) (𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶)))
6 eqss 2933 . 2 (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷 𝐷𝐶))
74, 5, 63bitr4g 212 1 ((𝐹:A1-1B (𝐶A 𝐷A)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1226  wss 2890  cima 4271  1-1wf1 4822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-sbc 2738  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fv 4833
This theorem is referenced by:  f1imapss  5336
  Copyright terms: Public domain W3C validator