ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imaeq Structured version   GIF version

Theorem f1imaeq 5357
Description: Taking images under a one-to-one function preserves equality. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1imaeq ((𝐹:A1-1B (𝐶A 𝐷A)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1imaeq
StepHypRef Expression
1 f1imass 5356 . . 3 ((𝐹:A1-1B (𝐶A 𝐷A)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))
2 f1imass 5356 . . . 4 ((𝐹:A1-1B (𝐷A 𝐶A)) → ((𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶) ↔ 𝐷𝐶))
32ancom2s 500 . . 3 ((𝐹:A1-1B (𝐶A 𝐷A)) → ((𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶) ↔ 𝐷𝐶))
41, 3anbi12d 442 . 2 ((𝐹:A1-1B (𝐶A 𝐷A)) → (((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) (𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶)) ↔ (𝐶𝐷 𝐷𝐶)))
5 eqss 2954 . 2 ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) (𝐹𝐷) ⊆ (𝐹𝐶)))
6 eqss 2954 . 2 (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷 𝐷𝐶))
74, 5, 63bitr4g 212 1 ((𝐹:A1-1B (𝐶A 𝐷A)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wss 2911  cima 4291  1-1wf1 4842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  f1imapss  5358
  Copyright terms: Public domain W3C validator