Theorem f1domg 6174

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1domg	⊢ (B ∈ 𝐶 → (𝐹:A–1-1→B → A ≼ B))

Proof of Theorem f1domg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dmex 5685	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:A–1-1→B ∧ B ∈ 𝐶) → A ∈ V)
2		f1f 5035	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:A–1-1→B → 𝐹:A⟶B)
3		fex 5331	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ A ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
4	2, 3	sylan 267	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:A–1-1→B ∧ A ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
5	1, 4	syldan 266	. . . 4 ⊢ ((𝐹:A–1-1→B ∧ B ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
6	5	expcom 109	. . 3 ⊢ (B ∈ 𝐶 → (𝐹:A–1-1→B → 𝐹 ∈ V))
7		f1eq1 5030	. . . 4 ⊢ (f = 𝐹 → (f:A–1-1→B ↔ 𝐹:A–1-1→B))
8	7	spcegv 2635	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹:A–1-1→B → ∃f f:A–1-1→B))
9	6, 8	syli 33	. 2 ⊢ (B ∈ 𝐶 → (𝐹:A–1-1→B → ∃f f:A–1-1→B))
10		brdomg 6165	. 2 ⊢ (B ∈ 𝐶 → (A ≼ B ↔ ∃f f:A–1-1→B))
11	9, 10	sylibrd 158	1 ⊢ (B ∈ 𝐶 → (𝐹:A–1-1→B → A ≼ B))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   class class class wbr 3755  ⟶wf 4841  –1-1→wf1 4842   ≼ cdom 6156

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-dom 6159

This theorem is referenced by:  f1dom  6176  dom2d  6189