Theorem f0 5023

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶A

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2037	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 4961	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 134	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 4531	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 3249	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ A
6	4, 5	eqsstri 2969	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ A
7		df-f 4849	. 2 ⊢ (∅:∅⟶A ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ A))
8	3, 6, 7	mpbir2an 848	1 ⊢ ∅:∅⟶A

Syntax hints:   = wceq 1242   ⊆ wss 2911  ∅c0 3218  ran crn 4289   Fn wfn 4840  ⟶wf 4841

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849

This theorem is referenced by:  f00  5024  f10  5103