ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exse2 Structured version   GIF version

Theorem exse2 4642
Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exse2 (𝑅 𝑉𝑅 Se A)

Proof of Theorem exse2
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2309 . . . . 5 {y Ay𝑅x} = {y ∣ (y A y𝑅x)}
2 vex 2554 . . . . . . . 8 y V
3 vex 2554 . . . . . . . 8 x V
42, 3breldm 4482 . . . . . . 7 (y𝑅xy dom 𝑅)
54adantl 262 . . . . . 6 ((y A y𝑅x) → y dom 𝑅)
65abssi 3009 . . . . 5 {y ∣ (y A y𝑅x)} ⊆ dom 𝑅
71, 6eqsstri 2969 . . . 4 {y Ay𝑅x} ⊆ dom 𝑅
8 dmexg 4539 . . . 4 (𝑅 𝑉 → dom 𝑅 V)
9 ssexg 3887 . . . 4 (({y Ay𝑅x} ⊆ dom 𝑅 dom 𝑅 V) → {y Ay𝑅x} V)
107, 8, 9sylancr 393 . . 3 (𝑅 𝑉 → {y Ay𝑅x} V)
1110ralrimivw 2387 . 2 (𝑅 𝑉x A {y Ay𝑅x} V)
12 df-se 4056 . 2 (𝑅 Se Ax A {y Ay𝑅x} V)
1311, 12sylibr 137 1 (𝑅 𝑉𝑅 Se A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390  {cab 2023  wral 2300  {crab 2304  Vcvv 2551  wss 2911   class class class wbr 3755   Se wse 4055  dom cdm 4288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-se 4056  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator