Theorem exbi 1492

Description: Theorem 19.18 of [Margaris] p. 90. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
exbi	⊢ (∀x(φ ↔ ψ) → (∃xφ ↔ ∃xψ))

Proof of Theorem exbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bi1 111	. . . 4 ⊢ ((φ ↔ ψ) → (φ → ψ))
2	1	alimi 1341	. . 3 ⊢ (∀x(φ ↔ ψ) → ∀x(φ → ψ))
3		exim 1487	. . 3 ⊢ (∀x(φ → ψ) → (∃xφ → ∃xψ))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (∀x(φ ↔ ψ) → (∃xφ → ∃xψ))
5		bi2 121	. . . 4 ⊢ ((φ ↔ ψ) → (ψ → φ))
6	5	alimi 1341	. . 3 ⊢ (∀x(φ ↔ ψ) → ∀x(ψ → φ))
7		exim 1487	. . 3 ⊢ (∀x(ψ → φ) → (∃xψ → ∃xφ))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (∀x(φ ↔ ψ) → (∃xψ → ∃xφ))
9	4, 8	impbid 120	1 ⊢ (∀x(φ ↔ ψ) → (∃xφ ↔ ∃xψ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98  ∀wal 1240  ∃wex 1378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1333  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-4 1397  ax-ial 1424

This theorem depends on definitions:  df-bi 110

This theorem is referenced by:  exbii  1493  exbidh  1502  exintrbi  1521  19.19  1553  rexrnmpt  5253