Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fl GIF version

Theorem ex-fl 9895
 Description: Example for df-fl 9114. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 7026 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 7989 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 8173 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 7986 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 7030 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 8087 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 3783 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 8007 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 7985 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 7888 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 7 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 133 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 7120 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 8089 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 8069 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 3789 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 257 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 7842 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1232 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 134 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 7973 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 3787 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 3z 8274 . . . . 5 3 ∈ ℤ
24 2nn 8077 . . . . 5 2 ∈ ℕ
25 znq 8559 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
2623, 24, 25mp2an 402 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℚ
27 1z 8271 . . . 4 1 ∈ ℤ
28 flqbi 9132 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
2926, 27, 28mp2an 402 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
3013, 22, 29mpbir2an 849 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
319renegcli 7273 . . . 4 -2 ∈ ℝ
323renegcli 7273 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
333, 9ltnegi 7485 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3420, 33mpbi 133 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3531, 32, 34ltleii 7120 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
364negcli 7279 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
37 ax-1cn 6977 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
38 negdi2 7269 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3936, 37, 38mp2an 402 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
404negnegi 7281 . . . . . . 7 --2 = 2
4140oveq1i 5522 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
4239, 41eqtri 2060 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
43 2m1e1 8034 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4443, 12eqbrtri 3783 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4542, 44eqbrtri 3783 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4631, 1readdcli 7040 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4746, 3ltnegcon1i 7491 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4845, 47mpbi 133 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
49 qnegcl 8571 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
5026, 49ax-mp 7 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℚ
51 2z 8273 . . . . 5 2 ∈ ℤ
52 znegcl 8276 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
5351, 52ax-mp 7 . . . 4 -2 ∈ ℤ
54 flqbi 9132 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℚ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
5550, 53, 54mp2an 402 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5635, 48, 55mpbir2an 849 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5730, 56pm3.2i 257 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   · cmul 6894   < clt 7060   ≤ cle 7061   − cmin 7182  -cneg 7183   / cdiv 7651  ℕcn 7914  2c2 7964  3c3 7965  4c4 7966  ℤcz 8245  ℚcq 8554  ⌊cfl 9112 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-q 8555  df-rp 8584  df-fl 9114 This theorem is referenced by:  ex-ceil  9896
 Copyright terms: Public domain W3C validator