Theorem euexex 1982

Description: Existential uniqueness and "at most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
euexex.1	⊢ Ⅎyφ

Assertion

Ref	Expression
euexex	⊢ ((∃!xφ ∧ ∀x∃*yψ) → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))

Proof of Theorem euexex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eu5 1944	. . 3 ⊢ (∃!xφ ↔ (∃xφ ∧ ∃*xφ))
2		nfmo1 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎx∃*xφ
3		nfa1 1431	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎx∀x∃*yψ
4		nfe1 1382	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎx∃x(φ ∧ ψ)
5	4	nfmo 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎx∃*y∃x(φ ∧ ψ)
6	3, 5	nfim 1461	. . . . . 6 ⊢ Ⅎx(∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))
7	2, 6	nfim 1461	. . . . 5 ⊢ Ⅎx(∃*xφ → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ)))
8		euexex.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎyφ
9	8	nfmo 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎy∃*xφ
10		mopick 1975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃*xφ ∧ ∃x(φ ∧ ψ)) → (φ → ψ))
11	10	ex 108	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*xφ → (∃x(φ ∧ ψ) → (φ → ψ)))
12	11	com3r 73	. . . . . . 7 ⊢ (φ → (∃*xφ → (∃x(φ ∧ ψ) → ψ)))
13	8, 9, 12	alrimd 1498	. . . . . 6 ⊢ (φ → (∃*xφ → ∀y(∃x(φ ∧ ψ) → ψ)))
14		moim 1961	. . . . . . 7 ⊢ (∀y(∃x(φ ∧ ψ) → ψ) → (∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ)))
15	14	spsd 1428	. . . . . 6 ⊢ (∀y(∃x(φ ∧ ψ) → ψ) → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ)))
16	13, 15	syl6 29	. . . . 5 ⊢ (φ → (∃*xφ → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))))
17	7, 16	exlimi 1482	. . . 4 ⊢ (∃xφ → (∃*xφ → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))))
18	17	imp 115	. . 3 ⊢ ((∃xφ ∧ ∃*xφ) → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ)))
19	1, 18	sylbi 114	. 2 ⊢ (∃!xφ → (∀x∃*yψ → ∃*y∃x(φ ∧ ψ)))
20	19	imp 115	1 ⊢ ((∃!xφ ∧ ∀x∃*yψ) → ∃*y∃x(φ ∧ ψ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∀wal 1240  Ⅎwnf 1346  ∃wex 1378  ∃!weu 1897  ∃*wmo 1898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901

This theorem is referenced by:  mosubt  2712  funco  4883