ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  euan Structured version   GIF version

Theorem euan 1938
Description: Introduction of a conjunct into uniqueness quantifier. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
euan.1 (φxφ)
Assertion
Ref Expression
euan (∃!x(φ ψ) ↔ (φ ∃!xψ))

Proof of Theorem euan
StepHypRef Expression
1 euan.1 . . . . . 6 (φxφ)
2 simpl 102 . . . . . 6 ((φ ψ) → φ)
31, 2exlimih 1466 . . . . 5 (x(φ ψ) → φ)
43adantr 261 . . . 4 ((x(φ ψ) ∃*x(φ ψ)) → φ)
5 simpr 103 . . . . . 6 ((φ ψ) → ψ)
65eximi 1473 . . . . 5 (x(φ ψ) → xψ)
76adantr 261 . . . 4 ((x(φ ψ) ∃*x(φ ψ)) → xψ)
8 hbe1 1365 . . . . . 6 (x(φ ψ) → xx(φ ψ))
93a1d 22 . . . . . . . 8 (x(φ ψ) → (ψφ))
109ancrd 309 . . . . . . 7 (x(φ ψ) → (ψ → (φ ψ)))
115, 10impbid2 131 . . . . . 6 (x(φ ψ) → ((φ ψ) ↔ ψ))
128, 11mobidh 1916 . . . . 5 (x(φ ψ) → (∃*x(φ ψ) ↔ ∃*xψ))
1312biimpa 280 . . . 4 ((x(φ ψ) ∃*x(φ ψ)) → ∃*xψ)
144, 7, 13jca32 293 . . 3 ((x(φ ψ) ∃*x(φ ψ)) → (φ (xψ ∃*xψ)))
15 eu5 1929 . . 3 (∃!x(φ ψ) ↔ (x(φ ψ) ∃*x(φ ψ)))
16 eu5 1929 . . . 4 (∃!xψ ↔ (xψ ∃*xψ))
1716anbi2i 433 . . 3 ((φ ∃!xψ) ↔ (φ (xψ ∃*xψ)))
1814, 15, 173imtr4i 190 . 2 (∃!x(φ ψ) → (φ ∃!xψ))
19 ibar 285 . . . 4 (φ → (ψ ↔ (φ ψ)))
201, 19eubidh 1888 . . 3 (φ → (∃!xψ∃!x(φ ψ)))
2120biimpa 280 . 2 ((φ ∃!xψ) → ∃!x(φ ψ))
2218, 21impbii 117 1 (∃!x(φ ψ) ↔ (φ ∃!xψ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1226  wex 1362  ∃!weu 1882  ∃*wmo 1883
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886
This theorem is referenced by:  euanv  1939  2eu7  1976
  Copyright terms: Public domain W3C validator