ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ersym Structured version   GIF version

Theorem ersym 6054
Description: An equivalence relation is symmetric. (Contributed by NM, 4-Jun-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ersym.1 (φ𝑅 Er 𝑋)
ersym.2 (φA𝑅B)
Assertion
Ref Expression
ersym (φB𝑅A)

Proof of Theorem ersym
StepHypRef Expression
1 ersym.2 . . 3 (φA𝑅B)
2 ersym.1 . . . . . 6 (φ𝑅 Er 𝑋)
3 errel 6051 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝑋 → Rel 𝑅)
42, 3syl 14 . . . . 5 (φ → Rel 𝑅)
5 brrelex12 4324 . . . . 5 ((Rel 𝑅 A𝑅B) → (A V B V))
64, 1, 5syl2anc 391 . . . 4 (φ → (A V B V))
7 brcnvg 4459 . . . . 5 ((B V A V) → (B𝑅AA𝑅B))
87ancoms 255 . . . 4 ((A V B V) → (B𝑅AA𝑅B))
96, 8syl 14 . . 3 (φ → (B𝑅AA𝑅B))
101, 9mpbird 156 . 2 (φB𝑅A)
11 df-er 6042 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝑋 ↔ (Rel 𝑅 dom 𝑅 = 𝑋 (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅))
1211simp3bi 920 . . . . 5 (𝑅 Er 𝑋 → (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅)
132, 12syl 14 . . . 4 (φ → (𝑅 ∪ (𝑅𝑅)) ⊆ 𝑅)
1413unssad 3114 . . 3 (φ𝑅𝑅)
1514ssbrd 3796 . 2 (φ → (B𝑅AB𝑅A))
1610, 15mpd 13 1 (φB𝑅A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  cun 2909  wss 2911   class class class wbr 3755  ccnv 4287  dom cdm 4288  ccom 4292  Rel wrel 4293   Er wer 6039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-er 6042
This theorem is referenced by:  ercl2  6055  ersymb  6056  ertr2d  6059  ertr3d  6060  ertr4d  6061  erth  6086  erinxp  6116
  Copyright terms: Public domain W3C validator