ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  erinxp GIF version

Theorem erinxp 6116
Description: A restricted equivalence relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erinxp.r (φ𝑅 Er A)
erinxp.a (φBA)
Assertion
Ref Expression
erinxp (φ → (𝑅 ∩ (B × B)) Er B)

Proof of Theorem erinxp
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3152 . . . 4 (𝑅 ∩ (B × B)) ⊆ (B × B)
2 relxp 4390 . . . 4 Rel (B × B)
3 relss 4370 . . . 4 ((𝑅 ∩ (B × B)) ⊆ (B × B) → (Rel (B × B) → Rel (𝑅 ∩ (B × B))))
41, 2, 3mp2 16 . . 3 Rel (𝑅 ∩ (B × B))
54a1i 9 . 2 (φ → Rel (𝑅 ∩ (B × B)))
6 simpr 103 . . . . 5 ((φ x(𝑅 ∩ (B × B))y) → x(𝑅 ∩ (B × B))y)
7 brinxp2 4350 . . . . 5 (x(𝑅 ∩ (B × B))y ↔ (x B y B x𝑅y))
86, 7sylib 127 . . . 4 ((φ x(𝑅 ∩ (B × B))y) → (x B y B x𝑅y))
98simp2d 916 . . 3 ((φ x(𝑅 ∩ (B × B))y) → y B)
108simp1d 915 . . 3 ((φ x(𝑅 ∩ (B × B))y) → x B)
11 erinxp.r . . . . 5 (φ𝑅 Er A)
1211adantr 261 . . . 4 ((φ x(𝑅 ∩ (B × B))y) → 𝑅 Er A)
138simp3d 917 . . . 4 ((φ x(𝑅 ∩ (B × B))y) → x𝑅y)
1412, 13ersym 6054 . . 3 ((φ x(𝑅 ∩ (B × B))y) → y𝑅x)
15 brinxp2 4350 . . 3 (y(𝑅 ∩ (B × B))x ↔ (y B x B y𝑅x))
169, 10, 14, 15syl3anbrc 1087 . 2 ((φ x(𝑅 ∩ (B × B))y) → y(𝑅 ∩ (B × B))x)
1710adantrr 448 . . 3 ((φ (x(𝑅 ∩ (B × B))y y(𝑅 ∩ (B × B))z)) → x B)
18 simprr 484 . . . . 5 ((φ (x(𝑅 ∩ (B × B))y y(𝑅 ∩ (B × B))z)) → y(𝑅 ∩ (B × B))z)
19 brinxp2 4350 . . . . 5 (y(𝑅 ∩ (B × B))z ↔ (y B z B y𝑅z))
2018, 19sylib 127 . . . 4 ((φ (x(𝑅 ∩ (B × B))y y(𝑅 ∩ (B × B))z)) → (y B z B y𝑅z))
2120simp2d 916 . . 3 ((φ (x(𝑅 ∩ (B × B))y y(𝑅 ∩ (B × B))z)) → z B)
2211adantr 261 . . . 4 ((φ (x(𝑅 ∩ (B × B))y y(𝑅 ∩ (B × B))z)) → 𝑅 Er A)
2313adantrr 448 . . . 4 ((φ (x(𝑅 ∩ (B × B))y y(𝑅 ∩ (B × B))z)) → x𝑅y)
2420simp3d 917 . . . 4 ((φ (x(𝑅 ∩ (B × B))y y(𝑅 ∩ (B × B))z)) → y𝑅z)
2522, 23, 24ertrd 6058 . . 3 ((φ (x(𝑅 ∩ (B × B))y y(𝑅 ∩ (B × B))z)) → x𝑅z)
26 brinxp2 4350 . . 3 (x(𝑅 ∩ (B × B))z ↔ (x B z B x𝑅z))
2717, 21, 25, 26syl3anbrc 1087 . 2 ((φ (x(𝑅 ∩ (B × B))y y(𝑅 ∩ (B × B))z)) → x(𝑅 ∩ (B × B))z)
2811adantr 261 . . . . . 6 ((φ x B) → 𝑅 Er A)
29 erinxp.a . . . . . . 7 (φBA)
3029sselda 2939 . . . . . 6 ((φ x B) → x A)
3128, 30erref 6062 . . . . 5 ((φ x B) → x𝑅x)
3231ex 108 . . . 4 (φ → (x Bx𝑅x))
3332pm4.71rd 374 . . 3 (φ → (x B ↔ (x𝑅x x B)))
34 brin 3802 . . . 4 (x(𝑅 ∩ (B × B))x ↔ (x𝑅x x(B × B)x))
35 brxp 4318 . . . . . 6 (x(B × B)x ↔ (x B x B))
36 anidm 376 . . . . . 6 ((x B x B) ↔ x B)
3735, 36bitri 173 . . . . 5 (x(B × B)xx B)
3837anbi2i 430 . . . 4 ((x𝑅x x(B × B)x) ↔ (x𝑅x x B))
3934, 38bitri 173 . . 3 (x(𝑅 ∩ (B × B))x ↔ (x𝑅x x B))
4033, 39syl6bbr 187 . 2 (φ → (x Bx(𝑅 ∩ (B × B))x))
415, 16, 27, 40iserd 6068 1 (φ → (𝑅 ∩ (B × B)) Er B)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   wcel 1390  cin 2910  wss 2911   class class class wbr 3755   × cxp 4286  Rel wrel 4293   Er wer 6039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-er 6042
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator