Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqreznegel GIF version

Theorem eqreznegel 8549
 Description: Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
eqreznegel (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴})
Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem eqreznegel
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2939 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤𝐴 → -𝑤 ∈ ℤ))
2 recn 7014 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
3 negid 7258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) = 0)
4 0z 8256 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
53, 4syl6eqel 2128 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ)
65pm4.71i 371 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ))
7 zrevaddcl 8295 . . . . . . . . . 10 (-𝑤 ∈ ℤ → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ) ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
86, 7syl5bb 181 . . . . . . . . 9 (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
92, 8syl5ib 143 . . . . . . . 8 (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ))
101, 9syl6 29 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤𝐴 → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ)))
1110com23 72 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → (-𝑤𝐴𝑤 ∈ ℤ)))
1211impd 242 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ))
13 simpr 103 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝐴)
1413a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝐴))
1512, 14jcad 291 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴)))
16 zre 8249 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
1716anim1i 323 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴))
1815, 17impbid1 130 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴)))
19 negeq 7204 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → -𝑧 = -𝑤)
2019eleq1d 2106 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → (-𝑧𝐴 ↔ -𝑤𝐴))
2120elrab 2698 . . 3 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴))
2220elrab 2698 . . 3 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴))
2318, 21, 223bitr4g 212 . 2 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴}))
2423eqrdv 2038 1 (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  {crab 2310   ⊆ wss 2917  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889   + caddc 6892  -cneg 7183  ℤcz 8245 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator