ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqrelrel Structured version   GIF version

Theorem eqrelrel 4368
Description: Extensionality principle for ordered triples, analogous to eqrel 4356. Use relrelss 4771 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
eqrelrel ((AB) ⊆ ((V × V) × V) → (A = Bxyz(⟨⟨x, y⟩, z A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B)))
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem eqrelrel
StepHypRef Expression
1 unss 3094 . 2 ((A ⊆ ((V × V) × V) B ⊆ ((V × V) × V)) ↔ (AB) ⊆ ((V × V) × V))
2 ssrelrel 4367 . . . 4 (A ⊆ ((V × V) × V) → (ABxyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B)))
3 ssrelrel 4367 . . . 4 (B ⊆ ((V × V) × V) → (BAxyz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A)))
42, 3bi2anan9 526 . . 3 ((A ⊆ ((V × V) × V) B ⊆ ((V × V) × V)) → ((AB BA) ↔ (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) xyz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A))))
5 eqss 2937 . . 3 (A = B ↔ (AB BA))
6 2albiim 1358 . . . . 5 (yz(⟨⟨x, y⟩, z A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B) ↔ (yz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) yz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A)))
76albii 1339 . . . 4 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B) ↔ x(yz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) yz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A)))
8 19.26 1350 . . . 4 (x(yz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) yz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A)) ↔ (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) xyz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A)))
97, 8bitri 173 . . 3 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B) ↔ (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) xyz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A)))
104, 5, 93bitr4g 212 . 2 ((A ⊆ ((V × V) × V) B ⊆ ((V × V) × V)) → (A = Bxyz(⟨⟨x, y⟩, z A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B)))
111, 10sylbir 125 1 ((AB) ⊆ ((V × V) × V) → (A = Bxyz(⟨⟨x, y⟩, z A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1226   = wceq 1228   wcel 1374  Vcvv 2535  cun 2892  wss 2894  cop 3353   × cxp 4270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-opab 3793  df-xp 4278
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator