ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqrelrel Structured version   GIF version

Theorem eqrelrel 4384
Description: Extensionality principle for ordered triples, analogous to eqrel 4372. Use relrelss 4787 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
eqrelrel ((AB) ⊆ ((V × V) × V) → (A = Bxyz(⟨⟨x, y⟩, z A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B)))
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem eqrelrel
StepHypRef Expression
1 unss 3111 . 2 ((A ⊆ ((V × V) × V) B ⊆ ((V × V) × V)) ↔ (AB) ⊆ ((V × V) × V))
2 ssrelrel 4383 . . . 4 (A ⊆ ((V × V) × V) → (ABxyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B)))
3 ssrelrel 4383 . . . 4 (B ⊆ ((V × V) × V) → (BAxyz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A)))
42, 3bi2anan9 538 . . 3 ((A ⊆ ((V × V) × V) B ⊆ ((V × V) × V)) → ((AB BA) ↔ (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) xyz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A))))
5 eqss 2954 . . 3 (A = B ↔ (AB BA))
6 2albiim 1374 . . . . 5 (yz(⟨⟨x, y⟩, z A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B) ↔ (yz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) yz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A)))
76albii 1356 . . . 4 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B) ↔ x(yz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) yz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A)))
8 19.26 1367 . . . 4 (x(yz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) yz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A)) ↔ (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) xyz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A)))
97, 8bitri 173 . . 3 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B) ↔ (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) xyz(⟨⟨x, y⟩, z B → ⟨⟨x, y⟩, z A)))
104, 5, 93bitr4g 212 . 2 ((A ⊆ ((V × V) × V) B ⊆ ((V × V) × V)) → (A = Bxyz(⟨⟨x, y⟩, z A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B)))
111, 10sylbir 125 1 ((AB) ⊆ ((V × V) × V) → (A = Bxyz(⟨⟨x, y⟩, z A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  cun 2909  wss 2911  cop 3370   × cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator