ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqrelrdv2 Structured version   GIF version

Theorem eqrelrdv2 4382
Description: A version of eqrelrdv 4379. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
eqrelrdv2.1 (φ → (⟨x, y A ↔ ⟨x, y B))
Assertion
Ref Expression
eqrelrdv2 (((Rel A Rel B) φ) → A = B)
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   φ,x,y

Proof of Theorem eqrelrdv2
StepHypRef Expression
1 eqrelrdv2.1 . . . 4 (φ → (⟨x, y A ↔ ⟨x, y B))
21alrimivv 1752 . . 3 (φxy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y B))
32adantl 262 . 2 (((Rel A Rel B) φ) → xy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y B))
4 eqrel 4372 . . 3 ((Rel A Rel B) → (A = Bxy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y B)))
54adantr 261 . 2 (((Rel A Rel B) φ) → (A = Bxy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y B)))
63, 5mpbird 156 1 (((Rel A Rel B) φ) → A = B)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370  Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295
This theorem is referenced by:  xpiindim  4416  fliftcnv  5378  dmtpos  5812  ercnv  6063
  Copyright terms: Public domain W3C validator