Theorem eqrelrdv2 4382

Description: A version of eqrelrdv 4379. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqrelrdv2.1	⊢ (φ → (⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B))

Assertion

Ref	Expression
eqrelrdv2	⊢ (((Rel A ∧ Rel B) ∧ φ) → A = B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   φ,x,y

Proof of Theorem eqrelrdv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelrdv2.1	. . . 4 ⊢ (φ → (⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B))
2	1	alrimivv 1752	. . 3 ⊢ (φ → ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B))
3	2	adantl 262	. 2 ⊢ (((Rel A ∧ Rel B) ∧ φ) → ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B))
4		eqrel 4372	. . 3 ⊢ ((Rel A ∧ Rel B) → (A = B ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B)))
5	4	adantr 261	. 2 ⊢ (((Rel A ∧ Rel B) ∧ φ) → (A = B ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ A ↔ ⟨x, y⟩ ∈ B)))
6	3, 5	mpbird 156	1 ⊢ (((Rel A ∧ Rel B) ∧ φ) → A = B)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370  Rel wrel 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295

This theorem is referenced by:  xpiindim  4416  fliftcnv  5378  dmtpos  5812  ercnv  6063