Theorem eqrelrdv2 4439

Description: A version of eqrelrdv 4436. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqrelrdv2.1	⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
eqrelrdv2	⊢ (((Rel 𝐴 ∧ Rel 𝐵) ∧ 𝜑) → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem eqrelrdv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelrdv2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
2	1	alrimivv 1755	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3	2	adantl 262	. 2 ⊢ (((Rel 𝐴 ∧ Rel 𝐵) ∧ 𝜑) → ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
4		eqrel 4429	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Rel 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)))
5	4	adantr 261	. 2 ⊢ (((Rel 𝐴 ∧ Rel 𝐵) ∧ 𝜑) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)))
6	3, 5	mpbird 156	1 ⊢ (((Rel 𝐴 ∧ Rel 𝐵) ∧ 𝜑) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1241   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378  Rel wrel 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352

This theorem is referenced by:  xpiindim  4473  fliftcnv  5435  dmtpos  5871  ercnv  6127