ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enrex GIF version

Theorem enrex 6665
Description: The equivalence relation for signed reals exists. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)
Assertion
Ref Expression
enrex ~R V

Proof of Theorem enrex
Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npex 6456 . . . 4 P V
21, 1xpex 4396 . . 3 (P × P) V
32, 2xpex 4396 . 2 ((P × P) × (P × P)) V
4 df-enr 6654 . . 3 ~R = {⟨x, y⟩ ∣ ((x (P × P) y (P × P)) zwvu((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z +P u) = (w +P v)))}
5 opabssxp 4357 . . 3 {⟨x, y⟩ ∣ ((x (P × P) y (P × P)) zwvu((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z +P u) = (w +P v)))} ⊆ ((P × P) × (P × P))
64, 5eqsstri 2969 . 2 ~R ⊆ ((P × P) × (P × P))
73, 6ssexi 3886 1 ~R V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  Vcvv 2551  cop 3370  {copab 3808   × cxp 4286  (class class class)co 5455  Pcnp 6275   +P cpp 6277   ~R cer 6280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-qs 6048  df-ni 6288  df-nqqs 6332  df-inp 6449  df-enr 6654
This theorem is referenced by:  addsrpr  6673  mulsrpr  6674  ltsrprg  6675  0r  6678  1sr  6679  m1r  6680  addclsr  6681  mulclsr  6682  recexgt0sr  6701  pitonnlem2  6743  pitonn  6744
  Copyright terms: Public domain W3C validator