Theorem enrex 6822

Description: The equivalence relation for signed reals exists. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enrex	⊢ ~R ∈ V

Proof of Theorem enrex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npex 6571	. . . 4 ⊢ P ∈ V
2	1, 1	xpex 4453	. . 3 ⊢ (P × P) ∈ V
3	2, 2	xpex 4453	. 2 ⊢ ((P × P) × (P × P)) ∈ V
4		df-enr 6811	. . 3 ⊢ ~R = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (P × P) ∧ 𝑦 ∈ (P × P)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 +P 𝑢) = (𝑤 +P 𝑣)))}
5		opabssxp 4414	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (P × P) ∧ 𝑦 ∈ (P × P)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 +P 𝑢) = (𝑤 +P 𝑣)))} ⊆ ((P × P) × (P × P))
6	4, 5	eqsstri 2975	. 2 ⊢ ~R ⊆ ((P × P) × (P × P))
7	3, 6	ssexi 3895	1 ⊢ ~R ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557  ⟨cop 3378  {copab 3817   × cxp 4343  (class class class)co 5512  Pcnp 6389   +_P cpp 6391   ~_R cer 6394

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-qs 6112  df-ni 6402  df-nqqs 6446  df-inp 6564  df-enr 6811

This theorem is referenced by:  addsrpr  6830  mulsrpr  6831  ltsrprg  6832  0r  6835  1sr  6836  m1r  6837  addclsr  6838  mulclsr  6839  recexgt0sr  6858  prsrcl  6868  pitonnlem2  6923  pitonn  6924  pitore  6926  recnnre  6927