ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enm GIF version

Theorem enm 6294
Description: A set equinumerous to an inhabited set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
enm ((𝐴𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem enm
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6228 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 f1of 5126 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
3 ffvelrn 5300 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
4 elex2 2570 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦𝐵)
53, 4syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦𝐵)
65ex 108 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
72, 6syl 14 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
87exlimiv 1489 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
91, 8sylbi 114 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
109com12 27 . . 3 (𝑥𝐴 → (𝐴𝐵 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
1110exlimiv 1489 . 2 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝐴𝐵 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
1211impcom 116 1 ((𝐴𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wex 1381  wcel 1393   class class class wbr 3764  wf 4898  1-1-ontowf1o 4901  cfv 4902  cen 6219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-en 6222
This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6336  diffitest  6344
  Copyright terms: Public domain W3C validator