ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enen1 GIF version

Theorem enen1 6311
Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
enen1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))

Proof of Theorem enen1
StepHypRef Expression
1 ensym 6261 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 entr 6264 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
31, 2sylan 267 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
4 entr 6264 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
53, 4impbida 528 1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   class class class wbr 3764  cen 6219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-er 6106  df-en 6222
This theorem is referenced by:  enfi  6334  php5fin  6339
  Copyright terms: Public domain W3C validator