Theorem en2i 6250

Description: Equinumerosity inference from an implicit one-to-one onto function. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
en2i.1	⊢ 𝐴 ∈ V
en2i.2	⊢ 𝐵 ∈ V
en2i.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
en2i.4	⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ V)
en2i.5	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
en2i	⊢ 𝐴 ≈ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem en2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2i.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
3		en2i.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ V)
5		en2i.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V))
7		en2i.4	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ V)
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ V))
9		en2i.5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷))
10	9	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷)))
11	2, 4, 6, 8, 10	en2d 6248	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐴 ≈ 𝐵)
12	11	trud 1252	1 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243  ⊤wtru 1244   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   class class class wbr 3764   ≈ cen 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-en 6222

This theorem is referenced by:  xpsnen  6295  xpassen  6304