Theorem en1uniel 6284

Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1uniel	⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem en1uniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6225	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelexi 4384	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → 𝑆 ∈ V)
3		uniexg 4175	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ V)
4		snidg 3400	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
6		encv 6227	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → (𝑆 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ V))
7	6	simpld 105	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → 𝑆 ∈ V)
8		en1bg 6280	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ≈ 1𝑜 ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → (𝑆 ≈ 1𝑜 ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
10	9	ibi 165	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → 𝑆 = {∪ 𝑆})
11	5, 10	eleqtrrd 2117	1 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557  {csn 3375  ∪ cuni 3580   class class class wbr 3764  1_𝑜c1o 5994   ≈ cen 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-1o 6001  df-en 6222

This theorem is referenced by: (None)