ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrnmpt1 Structured version   GIF version

Theorem elrnmpt1 4508
Description: Elementhood in an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rnmpt.1 𝐹 = (x AB)
Assertion
Ref Expression
elrnmpt1 ((x A B 𝑉) → B ran 𝐹)

Proof of Theorem elrnmpt1
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2534 . . . 4 x V
2 id 19 . . . . . . 7 (x = zx = z)
3 csbeq1a 2833 . . . . . . 7 (x = zA = z / xA)
42, 3eleq12d 2086 . . . . . 6 (x = z → (x Az z / xA))
5 csbeq1a 2833 . . . . . . 7 (x = zB = z / xB)
65biantrud 288 . . . . . 6 (x = z → (z z / xA ↔ (z z / xA B = z / xB)))
74, 6bitr2d 178 . . . . 5 (x = z → ((z z / xA B = z / xB) ↔ x A))
87equcoms 1572 . . . 4 (z = x → ((z z / xA B = z / xB) ↔ x A))
91, 8spcev 2620 . . 3 (x Az(z z / xA B = z / xB))
10 df-rex 2286 . . . . . 6 (x A y = Bx(x A y = B))
11 nfv 1398 . . . . . . 7 z(x A y = B)
12 nfcsb1v 2855 . . . . . . . . 9 xz / xA
1312nfcri 2150 . . . . . . . 8 x z z / xA
14 nfcsb1v 2855 . . . . . . . . 9 xz / xB
1514nfeq2 2167 . . . . . . . 8 x y = z / xB
1613, 15nfan 1435 . . . . . . 7 x(z z / xA y = z / xB)
175eqeq2d 2029 . . . . . . . 8 (x = z → (y = By = z / xB))
184, 17anbi12d 445 . . . . . . 7 (x = z → ((x A y = B) ↔ (z z / xA y = z / xB)))
1911, 16, 18cbvex 1617 . . . . . 6 (x(x A y = B) ↔ z(z z / xA y = z / xB))
2010, 19bitri 173 . . . . 5 (x A y = Bz(z z / xA y = z / xB))
21 eqeq1 2024 . . . . . . 7 (y = B → (y = z / xBB = z / xB))
2221anbi2d 440 . . . . . 6 (y = B → ((z z / xA y = z / xB) ↔ (z z / xA B = z / xB)))
2322exbidv 1684 . . . . 5 (y = B → (z(z z / xA y = z / xB) ↔ z(z z / xA B = z / xB)))
2420, 23syl5bb 181 . . . 4 (y = B → (x A y = Bz(z z / xA B = z / xB)))
25 rnmpt.1 . . . . 5 𝐹 = (x AB)
2625rnmpt 4505 . . . 4 ran 𝐹 = {yx A y = B}
2724, 26elab2g 2662 . . 3 (B 𝑉 → (B ran 𝐹z(z z / xA B = z / xB)))
289, 27syl5ibr 145 . 2 (B 𝑉 → (x AB ran 𝐹))
2928impcom 116 1 ((x A B 𝑉) → B ran 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1226  wex 1358   wcel 1370  wrex 2281  csb 2825  cmpt 3788  ran crn 4269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-rex 2286  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-cnv 4276  df-dm 4278  df-rn 4279
This theorem is referenced by:  fliftel1  5355
  Copyright terms: Public domain W3C validator