Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrnmpt1 Structured version   GIF version

Theorem elrnmpt1 4527
 Description: Elementhood in an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rnmpt.1 𝐹 = (x AB)
Assertion
Ref Expression
elrnmpt1 ((x A B 𝑉) → B ran 𝐹)

Proof of Theorem elrnmpt1
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2554 . . . 4 x V
2 id 19 . . . . . . 7 (x = zx = z)
3 csbeq1a 2854 . . . . . . 7 (x = zA = z / xA)
42, 3eleq12d 2105 . . . . . 6 (x = z → (x Az z / xA))
5 csbeq1a 2854 . . . . . . 7 (x = zB = z / xB)
65biantrud 288 . . . . . 6 (x = z → (z z / xA ↔ (z z / xA B = z / xB)))
74, 6bitr2d 178 . . . . 5 (x = z → ((z z / xA B = z / xB) ↔ x A))
87equcoms 1591 . . . 4 (z = x → ((z z / xA B = z / xB) ↔ x A))
91, 8spcev 2641 . . 3 (x Az(z z / xA B = z / xB))
10 df-rex 2306 . . . . . 6 (x A y = Bx(x A y = B))
11 nfv 1418 . . . . . . 7 z(x A y = B)
12 nfcsb1v 2876 . . . . . . . . 9 xz / xA
1312nfcri 2169 . . . . . . . 8 x z z / xA
14 nfcsb1v 2876 . . . . . . . . 9 xz / xB
1514nfeq2 2186 . . . . . . . 8 x y = z / xB
1613, 15nfan 1454 . . . . . . 7 x(z z / xA y = z / xB)
175eqeq2d 2048 . . . . . . . 8 (x = z → (y = By = z / xB))
184, 17anbi12d 442 . . . . . . 7 (x = z → ((x A y = B) ↔ (z z / xA y = z / xB)))
1911, 16, 18cbvex 1636 . . . . . 6 (x(x A y = B) ↔ z(z z / xA y = z / xB))
2010, 19bitri 173 . . . . 5 (x A y = Bz(z z / xA y = z / xB))
21 eqeq1 2043 . . . . . . 7 (y = B → (y = z / xBB = z / xB))
2221anbi2d 437 . . . . . 6 (y = B → ((z z / xA y = z / xB) ↔ (z z / xA B = z / xB)))
2322exbidv 1703 . . . . 5 (y = B → (z(z z / xA y = z / xB) ↔ z(z z / xA B = z / xB)))
2420, 23syl5bb 181 . . . 4 (y = B → (x A y = Bz(z z / xA B = z / xB)))
25 rnmpt.1 . . . . 5 𝐹 = (x AB)
2625rnmpt 4524 . . . 4 ran 𝐹 = {yx A y = B}
2724, 26elab2g 2683 . . 3 (B 𝑉 → (B ran 𝐹z(z z / xA B = z / xB)))
289, 27syl5ibr 145 . 2 (B 𝑉 → (x AB ran 𝐹))
2928impcom 116 1 ((x A B 𝑉) → B ran 𝐹)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  ⦋csb 2846   ↦ cmpt 3808  ran crn 4288 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-cnv 4295  df-dm 4297  df-rn 4298 This theorem is referenced by:  fliftel1  5375
 Copyright terms: Public domain W3C validator