Theorem elrn 4577

Description: Membership in a range. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrn.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elrn	⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑥 𝑥𝐵𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem elrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	elrn2 4576	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑥⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵)
3		df-br 3765	. . 3 ⊢ (𝑥𝐵𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵)
4	3	exbii 1496	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥𝐵𝐴 ↔ ∃𝑥⟨𝑥, 𝐴⟩ ∈ 𝐵)
5	2, 4	bitr4i 176	1 ⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑥 𝑥𝐵𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 98  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  ran crn 4346

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356

This theorem is referenced by:  dmcosseq  4603  rnco  4827  dffo4  5315  rntpos  5872  fclim  9815