Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnz Structured version   GIF version

Theorem elnnz 8031
 Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
elnnz (𝑁 ℕ ↔ (𝑁 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnz
StepHypRef Expression
1 nnre 7702 . . . 4 (𝑁 ℕ → 𝑁 ℝ)
2 orc 632 . . . 4 (𝑁 ℕ → (𝑁 (-𝑁 𝑁 = 0)))
3 nngt0 7720 . . . 4 (𝑁 ℕ → 0 < 𝑁)
41, 2, 3jca31 292 . . 3 (𝑁 ℕ → ((𝑁 (𝑁 (-𝑁 𝑁 = 0))) 0 < 𝑁))
5 idd 21 . . . . . . 7 ((𝑁 0 < 𝑁) → (𝑁 ℕ → 𝑁 ℕ))
6 lt0neg2 7259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ℝ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
7 renegcl 7068 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ℝ → -𝑁 ℝ)
8 0re 6825 . . . . . . . . . . . . 13 0
9 ltnsym 6901 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑁 0 ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
107, 8, 9sylancl 392 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
116, 10sylbid 139 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ℝ → (0 < 𝑁 → ¬ 0 < -𝑁))
1211imp 115 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 0 < 𝑁) → ¬ 0 < -𝑁)
13 nngt0 7720 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ℕ → 0 < -𝑁)
1412, 13nsyl 558 . . . . . . . . 9 ((𝑁 0 < 𝑁) → ¬ -𝑁 ℕ)
15 gt0ne0 7217 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
1615neneqd 2221 . . . . . . . . 9 ((𝑁 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
17 ioran 668 . . . . . . . . 9 (¬ (-𝑁 𝑁 = 0) ↔ (¬ -𝑁 ¬ 𝑁 = 0))
1814, 16, 17sylanbrc 394 . . . . . . . 8 ((𝑁 0 < 𝑁) → ¬ (-𝑁 𝑁 = 0))
1918pm2.21d 549 . . . . . . 7 ((𝑁 0 < 𝑁) → ((-𝑁 𝑁 = 0) → 𝑁 ℕ))
205, 19jaod 636 . . . . . 6 ((𝑁 0 < 𝑁) → ((𝑁 (-𝑁 𝑁 = 0)) → 𝑁 ℕ))
2120ex 108 . . . . 5 (𝑁 ℝ → (0 < 𝑁 → ((𝑁 (-𝑁 𝑁 = 0)) → 𝑁 ℕ)))
2221com23 72 . . . 4 (𝑁 ℝ → ((𝑁 (-𝑁 𝑁 = 0)) → (0 < 𝑁𝑁 ℕ)))
2322imp31 243 . . 3 (((𝑁 (𝑁 (-𝑁 𝑁 = 0))) 0 < 𝑁) → 𝑁 ℕ)
244, 23impbii 117 . 2 (𝑁 ℕ ↔ ((𝑁 (𝑁 (-𝑁 𝑁 = 0))) 0 < 𝑁))
25 elz 8023 . . . 4 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ)))
26 3orrot 890 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ) ↔ (𝑁 -𝑁 𝑁 = 0))
27 3orass 887 . . . . . 6 ((𝑁 -𝑁 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 (-𝑁 𝑁 = 0)))
2826, 27bitri 173 . . . . 5 ((𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ) ↔ (𝑁 (-𝑁 𝑁 = 0)))
2928anbi2i 430 . . . 4 ((𝑁 (𝑁 = 0 𝑁 -𝑁 ℕ)) ↔ (𝑁 (𝑁 (-𝑁 𝑁 = 0))))
3025, 29bitri 173 . . 3 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 (𝑁 (-𝑁 𝑁 = 0))))
3130anbi1i 431 . 2 ((𝑁 0 < 𝑁) ↔ ((𝑁 (𝑁 (-𝑁 𝑁 = 0))) 0 < 𝑁))
3224, 31bitr4i 176 1 (𝑁 ℕ ↔ (𝑁 0 < 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∨ w3o 883   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  ℝcr 6710  0cc0 6711   < clt 6857  -cneg 6980  ℕcn 7695  ℤcz 8021 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-z 8022 This theorem is referenced by:  nnssz  8038  elnnz1  8044  znnsub  8072  nn0ge0div  8103  msqznn  8114  elfz1b  8722  lbfzo0  8807  fzo1fzo0n0  8809  elfzo0z  8810  fzofzim  8814  elfzodifsumelfzo  8827  expival  8911  nnesq  9021
 Copyright terms: Public domain W3C validator