Theorem elnn0nn 8224

Description: The nonnegative integer property expressed in terms of positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem elnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 8191	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2		nn0p1nn 8221	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	jca 290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))
4		simpl 102	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 6977	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		pncan 7217	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 392	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8		nnm1nn0 8223	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 262	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
10	7, 9	eqeltrrd 2115	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	3, 10	impbii 117	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  1c1 6890   + caddc 6892   − cmin 7182  ℕcn 7914  ℕ₀cn0 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-inn 7915  df-n0 8182

This theorem is referenced by:  elnnnn0  8225  peano2z  8281