ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzom1elp1fzo Structured version   GIF version

Theorem elfzom1elp1fzo 8808
Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1elp1fzo ((𝑁 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzofz 8768 . . . . . . 7 (𝐼 (0..^(𝑁 − 1)) → 𝐼 (0...(𝑁 − 1)))
2 elfzuz2 8643 . . . . . . 7 (𝐼 (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) (ℤ‘0))
3 elnn0uz 8266 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) 0 ↔ (𝑁 − 1) (ℤ‘0))
4 zcn 8006 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℂ)
54anim1i 323 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 (𝑁 − 1) 0) → (𝑁 (𝑁 − 1) 0))
6 elnnnn0 7981 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ℕ ↔ (𝑁 (𝑁 − 1) 0))
75, 6sylibr 137 . . . . . . . . 9 ((𝑁 (𝑁 − 1) 0) → 𝑁 ℕ)
87expcom 109 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) 0 → (𝑁 ℤ → 𝑁 ℕ))
93, 8sylbir 125 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) (ℤ‘0) → (𝑁 ℤ → 𝑁 ℕ))
101, 2, 93syl 17 . . . . . 6 (𝐼 (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ℤ → 𝑁 ℕ))
1110impcom 116 . . . . 5 ((𝑁 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ℕ)
12 1nn0 7953 . . . . . . 7 1 0
1312a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ℕ → 1 0)
14 nnnn0 7944 . . . . . 6 (𝑁 ℕ → 𝑁 0)
15 nnge1 7698 . . . . . 6 (𝑁 ℕ → 1 ≤ 𝑁)
1613, 14, 153jca 1083 . . . . 5 (𝑁 ℕ → (1 0 𝑁 0 1 ≤ 𝑁))
1711, 16syl 14 . . . 4 ((𝑁 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))) → (1 0 𝑁 0 1 ≤ 𝑁))
18 elfz2nn0 8723 . . . 4 (1 (0...𝑁) ↔ (1 0 𝑁 0 1 ≤ 𝑁))
1917, 18sylibr 137 . . 3 ((𝑁 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))) → 1 (0...𝑁))
20 fzossrbm1 8779 . . . . . . 7 (𝑁 ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
2120adantr 261 . . . . . 6 ((𝑁 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
22 fzossfz 8771 . . . . . 6 (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
2321, 22syl6ss 2951 . . . . 5 ((𝑁 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
24 simpr 103 . . . . 5 ((𝑁 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐼 (0..^(𝑁 − 1)))
2523, 24jca 290 . . . 4 ((𝑁 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))) → ((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁) 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))))
26 ssel2 2934 . . . 4 (((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁) 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐼 (0...𝑁))
27 elfzubelfz 8650 . . . 4 (𝐼 (0...𝑁) → 𝑁 (0...𝑁))
2825, 26, 273syl 17 . . 3 ((𝑁 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 (0...𝑁))
2919, 28jca 290 . 2 ((𝑁 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))) → (1 (0...𝑁) 𝑁 (0...𝑁)))
30 elfzodifsumelfzo 8807 . 2 ((1 (0...𝑁) 𝑁 (0...𝑁)) → (𝐼 (0..^(𝑁 − 1)) → (𝐼 + 1) (0..^𝑁)))
3129, 24, 30sylc 56 1 ((𝑁 𝐼 (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) (0..^𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   wcel 1390  wss 2911   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  cc 6689  0cc0 6691  1c1 6692   + caddc 6694  cle 6838  cmin 6959  cn 7675  0cn0 7937  cz 8001  cuz 8229  ...cfz 8624  ..^cfzo 8749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625  df-fzo 8750
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator