ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1eq Structured version   GIF version

Theorem elfz1eq 8629
Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1eq (𝐾 (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Proof of Theorem elfz1eq
StepHypRef Expression
1 elfzle2 8622 . 2 (𝐾 (𝑁...𝑁) → 𝐾𝑁)
2 elfzle1 8621 . 2 (𝐾 (𝑁...𝑁) → 𝑁𝐾)
3 elfzelz 8620 . . 3 (𝐾 (𝑁...𝑁) → 𝐾 ℤ)
4 elfzel2 8618 . . 3 (𝐾 (𝑁...𝑁) → 𝑁 ℤ)
5 zre 7985 . . . 4 (𝐾 ℤ → 𝐾 ℝ)
6 zre 7985 . . . 4 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
7 letri3 6856 . . . 4 ((𝐾 𝑁 ℝ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁 𝑁𝐾)))
85, 6, 7syl2an 273 . . 3 ((𝐾 𝑁 ℤ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁 𝑁𝐾)))
93, 4, 8syl2anc 391 . 2 (𝐾 (𝑁...𝑁) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁 𝑁𝐾)))
101, 2, 9mpbir2and 850 1 (𝐾 (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6670  cle 6818  cz 7981  ...cfz 8604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-apti 6758
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-neg 6942  df-z 7982  df-uz 8210  df-fz 8605
This theorem is referenced by:  fzsn  8659  fz1sbc  8688  fzm1  8692
  Copyright terms: Public domain W3C validator