Theorem ecidg 6106

Description: A set is equal to its converse epsilon coset. (Note: converse epsilon is not an equivalence relation.) (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ecidg	⊢ (A ∈ 𝑉 → [A]◡ E = A)

Proof of Theorem ecidg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2554	. . . 4 ⊢ y ∈ V
2		elecg 6080	. . . 4 ⊢ ((y ∈ V ∧ A ∈ 𝑉) → (y ∈ [A]◡ E ↔ A◡ E y))
3	1, 2	mpan 400	. . 3 ⊢ (A ∈ 𝑉 → (y ∈ [A]◡ E ↔ A◡ E y))
4		brcnvg 4459	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ y ∈ V) → (A◡ E y ↔ y E A))
5	1, 4	mpan2 401	. . 3 ⊢ (A ∈ 𝑉 → (A◡ E y ↔ y E A))
6		epelg 4018	. . 3 ⊢ (A ∈ 𝑉 → (y E A ↔ y ∈ A))
7	3, 5, 6	3bitrd 203	. 2 ⊢ (A ∈ 𝑉 → (y ∈ [A]◡ E ↔ y ∈ A))
8	7	eqrdv 2035	1 ⊢ (A ∈ 𝑉 → [A]◡ E = A)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   class class class wbr 3755   E cep 4015  ^◡ccnv 4287  [cec 6040

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-eprel 4017  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-ec 6044

This theorem is referenced by:  addcnsrec  6739  mulcnsrec  6740