ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmsn0 GIF version

Theorem dmsn0 4788
Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)
Assertion
Ref Expression
dmsn0 dom {∅} = ∅

Proof of Theorem dmsn0
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4372 . . . 4 ¬ ∅ ∈ (V × V)
2 dmsnm 4786 . . . 4 (∅ ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
31, 2mtbi 595 . . 3 ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅}
4 alnex 1388 . . 3 (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅} ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
53, 4mpbir 134 . 2 𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅}
6 eq0 3239 . 2 (dom {∅} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅})
75, 6mpbir 134 1 dom {∅} = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wal 1241   = wceq 1243  wex 1381  wcel 1393  Vcvv 2557  c0 3224  {csn 3375   × cxp 4343  dom cdm 4345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-dm 4355
This theorem is referenced by:  cnvsn0  4789  1st0  5771  2nd0  5772
  Copyright terms: Public domain W3C validator