Theorem dmsn0 4788

Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0	⊢ dom {∅} = ∅

Proof of Theorem dmsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4372	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
2		dmsnm 4786	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
3	1, 2	mtbi 595	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅}
4		alnex 1388	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅} ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {∅})
5	3, 4	mpbir 134	. 2 ⊢ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅}
6		eq0 3239	. 2 ⊢ (dom {∅} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {∅})
7	5, 6	mpbir 134	1 ⊢ dom {∅} = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1241   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557  ∅c0 3224  {csn 3375   × cxp 4343  dom cdm 4345

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-dm 4355

This theorem is referenced by:  cnvsn0  4789  1st0  5771  2nd0  5772