ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmsn0 Structured version   GIF version

Theorem dmsn0 4731
Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)
Assertion
Ref Expression
dmsn0 dom {∅} = ∅

Proof of Theorem dmsn0
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4315 . . . 4 ¬ ∅ (V × V)
2 dmsnm 4729 . . . 4 (∅ (V × V) ↔ x x dom {∅})
31, 2mtbi 594 . . 3 ¬ x x dom {∅}
4 alnex 1385 . . 3 (x ¬ x dom {∅} ↔ ¬ x x dom {∅})
53, 4mpbir 134 . 2 x ¬ x dom {∅}
6 eq0 3233 . 2 (dom {∅} = ∅ ↔ x ¬ x dom {∅})
75, 6mpbir 134 1 dom {∅} = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  Vcvv 2551  c0 3218  {csn 3367   × cxp 4286  dom cdm 4288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-dm 4298
This theorem is referenced by:  cnvsn0  4732  1st0  5713  2nd0  5714
  Copyright terms: Public domain W3C validator