ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmmrnm Structured version   GIF version

Theorem dmmrnm 4497
Description: A domain is inhabited if and only if the range is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dmmrnm (x x dom Ay y ran A)
Distinct variable groups:   y,A   x,A

Proof of Theorem dmmrnm
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dm 4298 . . . . 5 dom A = {xz xAz}
21eleq2i 2101 . . . 4 (x dom Ax {xz xAz})
32exbii 1493 . . 3 (x x dom Ax x {xz xAz})
4 abid 2025 . . . 4 (x {xz xAz} ↔ z xAz)
54exbii 1493 . . 3 (x x {xz xAz} ↔ xz xAz)
63, 5bitri 173 . 2 (x x dom Axz xAz)
7 dfrn2 4466 . . . . 5 ran A = {zx xAz}
87eleq2i 2101 . . . 4 (z ran Az {zx xAz})
98exbii 1493 . . 3 (z z ran Az z {zx xAz})
10 abid 2025 . . . . 5 (z {zx xAz} ↔ x xAz)
1110exbii 1493 . . . 4 (z z {zx xAz} ↔ zx xAz)
12 excom 1551 . . . 4 (zx xAzxz xAz)
1311, 12bitri 173 . . 3 (z z {zx xAz} ↔ xz xAz)
149, 13bitri 173 . 2 (z z ran Axz xAz)
15 eleq1 2097 . . 3 (z = y → (z ran Ay ran A))
1615cbvexv 1792 . 2 (z z ran Ay y ran A)
176, 14, 163bitr2i 197 1 (x x dom Ay y ran A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 98  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023   class class class wbr 3755  dom cdm 4288  ran crn 4289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299
This theorem is referenced by:  rnsnm  4730
  Copyright terms: Public domain W3C validator