ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmmrnm GIF version

Theorem dmmrnm 4500
Description: A domain is inhabited if and only if the range is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dmmrnm (x x dom Ay y ran A)
Distinct variable groups:   y,A   x,A

Proof of Theorem dmmrnm
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dm 4301 . . . . 5 dom A = {xz xAz}
21eleq2i 2104 . . . 4 (x dom Ax {xz xAz})
32exbii 1496 . . 3 (x x dom Ax x {xz xAz})
4 abid 2028 . . . 4 (x {xz xAz} ↔ z xAz)
54exbii 1496 . . 3 (x x {xz xAz} ↔ xz xAz)
63, 5bitri 173 . 2 (x x dom Axz xAz)
7 dfrn2 4469 . . . . 5 ran A = {zx xAz}
87eleq2i 2104 . . . 4 (z ran Az {zx xAz})
98exbii 1496 . . 3 (z z ran Az z {zx xAz})
10 abid 2028 . . . . 5 (z {zx xAz} ↔ x xAz)
1110exbii 1496 . . . 4 (z z {zx xAz} ↔ zx xAz)
12 excom 1554 . . . 4 (zx xAzxz xAz)
1311, 12bitri 173 . . 3 (z z {zx xAz} ↔ xz xAz)
149, 13bitri 173 . 2 (z z ran Axz xAz)
15 eleq1 2100 . . 3 (z = y → (z ran Ay ran A))
1615cbvexv 1795 . 2 (z z ran Ay y ran A)
176, 14, 163bitr2i 197 1 (x x dom Ay y ran A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 98  wex 1381   wcel 1393  {cab 2026   class class class wbr 3758  dom cdm 4291  ran crn 4292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3869  ax-pow 3921  ax-pr 3938
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2556  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-br 3759  df-opab 3813  df-cnv 4299  df-dm 4301  df-rn 4302
This theorem is referenced by:  rnsnm  4733
  Copyright terms: Public domain W3C validator