ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divadddivap Structured version   GIF version

Theorem divadddivap 7437
Description: Addition of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divadddivap (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((A / 𝐶) + (B / 𝐷)) = (((A · 𝐷) + (B · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem divadddivap
StepHypRef Expression
1 mulcl 6758 . . . . 5 ((A 𝐷 ℂ) → (A · 𝐷) ℂ)
21ad2ant2r 478 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐷 𝐷 # 0)) → (A · 𝐷) ℂ)
32adantrl 447 . . 3 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (A · 𝐷) ℂ)
4 mulcl 6758 . . . . 5 ((B 𝐶 ℂ) → (B · 𝐶) ℂ)
54adantrr 448 . . . 4 ((B (𝐶 𝐶 # 0)) → (B · 𝐶) ℂ)
65ad2ant2lr 479 . . 3 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (B · 𝐶) ℂ)
7 mulcl 6758 . . . . . 6 ((𝐶 𝐷 ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ℂ)
87ad2ant2r 478 . . . . 5 (((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) ℂ)
9 mulap0 7369 . . . . 5 (((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) # 0)
108, 9jca 290 . . . 4 (((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0)) → ((𝐶 · 𝐷) (𝐶 · 𝐷) # 0))
1110adantl 262 . . 3 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) (𝐶 · 𝐷) # 0))
12 divdirap 7408 . . 3 (((A · 𝐷) (B · 𝐶) ((𝐶 · 𝐷) (𝐶 · 𝐷) # 0)) → (((A · 𝐷) + (B · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)) = (((A · 𝐷) / (𝐶 · 𝐷)) + ((B · 𝐶) / (𝐶 · 𝐷))))
133, 6, 11, 12syl3anc 1134 . 2 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (((A · 𝐷) + (B · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)) = (((A · 𝐷) / (𝐶 · 𝐷)) + ((B · 𝐶) / (𝐶 · 𝐷))))
14 simpll 481 . . . . . 6 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → A ℂ)
15 simprr 484 . . . . . . 7 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (𝐷 𝐷 # 0))
1615simpld 105 . . . . . 6 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → 𝐷 ℂ)
1714, 16mulcomd 6798 . . . . 5 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (A · 𝐷) = (𝐷 · A))
18 simprll 489 . . . . . 6 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → 𝐶 ℂ)
1918, 16mulcomd 6798 . . . . 5 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
2017, 19oveq12d 5470 . . . 4 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((A · 𝐷) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐷 · A) / (𝐷 · 𝐶)))
21 simprl 483 . . . . 5 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (𝐶 𝐶 # 0))
22 divcanap5 7424 . . . . 5 ((A (𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0)) → ((𝐷 · A) / (𝐷 · 𝐶)) = (A / 𝐶))
2314, 21, 15, 22syl3anc 1134 . . . 4 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐷 · A) / (𝐷 · 𝐶)) = (A / 𝐶))
2420, 23eqtrd 2069 . . 3 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((A · 𝐷) / (𝐶 · 𝐷)) = (A / 𝐶))
25 simplr 482 . . . . . 6 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → B ℂ)
2625, 18mulcomd 6798 . . . . 5 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (B · 𝐶) = (𝐶 · B))
2726oveq1d 5467 . . . 4 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((B · 𝐶) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐶 · B) / (𝐶 · 𝐷)))
28 divcanap5 7424 . . . . 5 ((B (𝐷 𝐷 # 0) (𝐶 𝐶 # 0)) → ((𝐶 · B) / (𝐶 · 𝐷)) = (B / 𝐷))
2925, 15, 21, 28syl3anc 1134 . . . 4 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · B) / (𝐶 · 𝐷)) = (B / 𝐷))
3027, 29eqtrd 2069 . . 3 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((B · 𝐶) / (𝐶 · 𝐷)) = (B / 𝐷))
3124, 30oveq12d 5470 . 2 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (((A · 𝐷) / (𝐶 · 𝐷)) + ((B · 𝐶) / (𝐶 · 𝐷))) = ((A / 𝐶) + (B / 𝐷)))
3213, 31eqtr2d 2070 1 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((A / 𝐶) + (B / 𝐷)) = (((A · 𝐷) + (B · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  cc 6661  0cc0 6663   + caddc 6666   · cmul 6668   # cap 7317   / cdiv 7385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-1re 6729  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-mulrcl 6734  ax-addcom 6735  ax-mulcom 6736  ax-addass 6737  ax-mulass 6738  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-1rid 6742  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-precex 6745  ax-cnre 6746  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-ltwlin 6748  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-apti 6750  ax-pre-ltadd 6751  ax-pre-mulgt0 6752  ax-pre-mulext 6753
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-xr 6813  df-ltxr 6814  df-le 6815  df-sub 6933  df-neg 6934  df-reap 7311  df-ap 7318  df-div 7386
This theorem is referenced by:  divsubdivap  7438  divadddivapi  7484  qaddcl  8295
  Copyright terms: Public domain W3C validator