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Theorem distrsrg 6647
Description: Multiplication of signed reals is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
distrsrg ((A R B R 𝐶 R) → (A ·R (B +R 𝐶)) = ((A ·R B) +R (A ·R 𝐶)))

Proof of Theorem distrsrg
Dummy variables f g u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6615 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 addsrpr 6633 . 2 (((z P w P) (v P u P)) → ([⟨z, w⟩] ~R +R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R )
3 mulsrpr 6634 . 2 (((x P y P) ((z +P v) P (w +P u) P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R ) = [⟨((x ·P (z +P v)) +P (y ·P (w +P u))), ((x ·P (w +P u)) +P (y ·P (z +P v)))⟩] ~R )
4 mulsrpr 6634 . 2 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R )
5 mulsrpr 6634 . 2 (((x P y P) (v P u P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨((x ·P v) +P (y ·P u)), ((x ·P u) +P (y ·P v))⟩] ~R )
6 addsrpr 6633 . 2 (((((x ·P z) +P (y ·P w)) P ((x ·P w) +P (y ·P z)) P) (((x ·P v) +P (y ·P u)) P ((x ·P u) +P (y ·P v)) P)) → ([⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R +R [⟨((x ·P v) +P (y ·P u)), ((x ·P u) +P (y ·P v))⟩] ~R ) = [⟨(((x ·P z) +P (y ·P w)) +P ((x ·P v) +P (y ·P u))), (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P ((x ·P u) +P (y ·P v)))⟩] ~R )
7 addclpr 6520 . . . 4 ((z P v P) → (z +P v) P)
87ad2ant2r 478 . . 3 (((z P w P) (v P u P)) → (z +P v) P)
9 addclpr 6520 . . . 4 ((w P u P) → (w +P u) P)
109ad2ant2l 477 . . 3 (((z P w P) (v P u P)) → (w +P u) P)
118, 10jca 290 . 2 (((z P w P) (v P u P)) → ((z +P v) P (w +P u) P))
12 mulclpr 6551 . . . . 5 ((x P z P) → (x ·P z) P)
1312ad2ant2r 478 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (x ·P z) P)
14 mulclpr 6551 . . . . 5 ((y P w P) → (y ·P w) P)
1514ad2ant2l 477 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (y ·P w) P)
16 addclpr 6520 . . . 4 (((x ·P z) P (y ·P w) P) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) P)
1713, 15, 16syl2anc 391 . . 3 (((x P y P) (z P w P)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) P)
18 mulclpr 6551 . . . . 5 ((x P w P) → (x ·P w) P)
1918ad2ant2rl 480 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (x ·P w) P)
20 mulclpr 6551 . . . . 5 ((y P z P) → (y ·P z) P)
2120ad2ant2lr 479 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (y ·P z) P)
22 addclpr 6520 . . . 4 (((x ·P w) P (y ·P z) P) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) P)
2319, 21, 22syl2anc 391 . . 3 (((x P y P) (z P w P)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) P)
2417, 23jca 290 . 2 (((x P y P) (z P w P)) → (((x ·P z) +P (y ·P w)) P ((x ·P w) +P (y ·P z)) P))
25 mulclpr 6551 . . . . 5 ((x P v P) → (x ·P v) P)
2625ad2ant2r 478 . . . 4 (((x P y P) (v P u P)) → (x ·P v) P)
27 mulclpr 6551 . . . . 5 ((y P u P) → (y ·P u) P)
2827ad2ant2l 477 . . . 4 (((x P y P) (v P u P)) → (y ·P u) P)
29 addclpr 6520 . . . 4 (((x ·P v) P (y ·P u) P) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) P)
3026, 28, 29syl2anc 391 . . 3 (((x P y P) (v P u P)) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) P)
31 mulclpr 6551 . . . . 5 ((x P u P) → (x ·P u) P)
3231ad2ant2rl 480 . . . 4 (((x P y P) (v P u P)) → (x ·P u) P)
33 mulclpr 6551 . . . . 5 ((y P v P) → (y ·P v) P)
3433ad2ant2lr 479 . . . 4 (((x P y P) (v P u P)) → (y ·P v) P)
35 addclpr 6520 . . . 4 (((x ·P u) P (y ·P v) P) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) P)
3632, 34, 35syl2anc 391 . . 3 (((x P y P) (v P u P)) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) P)
3730, 36jca 290 . 2 (((x P y P) (v P u P)) → (((x ·P v) +P (y ·P u)) P ((x ·P u) +P (y ·P v)) P))
38 simp1l 927 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → x P)
39 simp2l 929 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → z P)
40 simp3l 931 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → v P)
41 distrprg 6562 . . . . 5 ((x P z P v P) → (x ·P (z +P v)) = ((x ·P z) +P (x ·P v)))
4238, 39, 40, 41syl3anc 1134 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x ·P (z +P v)) = ((x ·P z) +P (x ·P v)))
43 simp1r 928 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → y P)
44 simp2r 930 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → w P)
45 simp3r 932 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → u P)
46 distrprg 6562 . . . . 5 ((y P w P u P) → (y ·P (w +P u)) = ((y ·P w) +P (y ·P u)))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1134 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y ·P (w +P u)) = ((y ·P w) +P (y ·P u)))
4842, 47oveq12d 5473 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x ·P (z +P v)) +P (y ·P (w +P u))) = (((x ·P z) +P (x ·P v)) +P ((y ·P w) +P (y ·P u))))
4938, 39, 12syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x ·P z) P)
5038, 40, 25syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x ·P v) P)
5143, 44, 14syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y ·P w) P)
52 addcomprg 6552 . . . . 5 ((f P g P) → (f +P g) = (g +P f))
5352adantl 262 . . . 4 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P)) → (f +P g) = (g +P f))
54 addassprg 6553 . . . . 5 ((f P g P P) → ((f +P g) +P ) = (f +P (g +P )))
5554adantl 262 . . . 4 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P P)) → ((f +P g) +P ) = (f +P (g +P )))
5643, 45, 27syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y ·P u) P)
57 addclpr 6520 . . . . 5 ((f P g P) → (f +P g) P)
5857adantl 262 . . . 4 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P)) → (f +P g) P)
5949, 50, 51, 53, 55, 56, 58caov4d 5627 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (((x ·P z) +P (x ·P v)) +P ((y ·P w) +P (y ·P u))) = (((x ·P z) +P (y ·P w)) +P ((x ·P v) +P (y ·P u))))
6048, 59eqtrd 2069 . 2 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x ·P (z +P v)) +P (y ·P (w +P u))) = (((x ·P z) +P (y ·P w)) +P ((x ·P v) +P (y ·P u))))
61 distrprg 6562 . . . . 5 ((x P w P u P) → (x ·P (w +P u)) = ((x ·P w) +P (x ·P u)))
6238, 44, 45, 61syl3anc 1134 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x ·P (w +P u)) = ((x ·P w) +P (x ·P u)))
63 distrprg 6562 . . . . 5 ((y P z P v P) → (y ·P (z +P v)) = ((y ·P z) +P (y ·P v)))
6443, 39, 40, 63syl3anc 1134 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y ·P (z +P v)) = ((y ·P z) +P (y ·P v)))
6562, 64oveq12d 5473 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x ·P (w +P u)) +P (y ·P (z +P v))) = (((x ·P w) +P (x ·P u)) +P ((y ·P z) +P (y ·P v))))
6638, 44, 18syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x ·P w) P)
6738, 45, 31syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x ·P u) P)
6843, 39, 20syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y ·P z) P)
6943, 40, 33syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y ·P v) P)
7066, 67, 68, 53, 55, 69, 58caov4d 5627 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (((x ·P w) +P (x ·P u)) +P ((y ·P z) +P (y ·P v))) = (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P ((x ·P u) +P (y ·P v))))
7165, 70eqtrd 2069 . 2 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x ·P (w +P u)) +P (y ·P (z +P v))) = (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P ((x ·P u) +P (y ·P v))))
721, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 24, 37, 60, 71ecovidi 6154 1 ((A R B R 𝐶 R) → (A ·R (B +R 𝐶)) = ((A ·R B) +R (A ·R 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  Pcnp 6275   +P cpp 6277   ·P cmp 6278   ~R cer 6280  Rcnr 6281   +R cplr 6285   ·R cmr 6286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-enr 6614  df-nr 6615  df-plr 6616  df-mr 6617
This theorem is referenced by:  pn0sr  6659  axmulass  6717  axdistr  6718
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