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Theorem distrsrg 6639
Description: Multiplication of signed reals is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
distrsrg ((A R B R 𝐶 R) → (A ·R (B +R 𝐶)) = ((A ·R B) +R (A ·R 𝐶)))

Proof of Theorem distrsrg
Dummy variables f g u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6607 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 addsrpr 6625 . 2 (((z P w P) (v P u P)) → ([⟨z, w⟩] ~R +R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R )
3 mulsrpr 6626 . 2 (((x P y P) ((z +P v) P (w +P u) P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R ) = [⟨((x ·P (z +P v)) +P (y ·P (w +P u))), ((x ·P (w +P u)) +P (y ·P (z +P v)))⟩] ~R )
4 mulsrpr 6626 . 2 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R )
5 mulsrpr 6626 . 2 (((x P y P) (v P u P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨((x ·P v) +P (y ·P u)), ((x ·P u) +P (y ·P v))⟩] ~R )
6 addsrpr 6625 . 2 (((((x ·P z) +P (y ·P w)) P ((x ·P w) +P (y ·P z)) P) (((x ·P v) +P (y ·P u)) P ((x ·P u) +P (y ·P v)) P)) → ([⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R +R [⟨((x ·P v) +P (y ·P u)), ((x ·P u) +P (y ·P v))⟩] ~R ) = [⟨(((x ·P z) +P (y ·P w)) +P ((x ·P v) +P (y ·P u))), (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P ((x ·P u) +P (y ·P v)))⟩] ~R )
7 addclpr 6513 . . . 4 ((z P v P) → (z +P v) P)
87ad2ant2r 478 . . 3 (((z P w P) (v P u P)) → (z +P v) P)
9 addclpr 6513 . . . 4 ((w P u P) → (w +P u) P)
109ad2ant2l 477 . . 3 (((z P w P) (v P u P)) → (w +P u) P)
118, 10jca 290 . 2 (((z P w P) (v P u P)) → ((z +P v) P (w +P u) P))
12 mulclpr 6543 . . . . 5 ((x P z P) → (x ·P z) P)
1312ad2ant2r 478 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (x ·P z) P)
14 mulclpr 6543 . . . . 5 ((y P w P) → (y ·P w) P)
1514ad2ant2l 477 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (y ·P w) P)
16 addclpr 6513 . . . 4 (((x ·P z) P (y ·P w) P) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) P)
1713, 15, 16syl2anc 391 . . 3 (((x P y P) (z P w P)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) P)
18 mulclpr 6543 . . . . 5 ((x P w P) → (x ·P w) P)
1918ad2ant2rl 480 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (x ·P w) P)
20 mulclpr 6543 . . . . 5 ((y P z P) → (y ·P z) P)
2120ad2ant2lr 479 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (y ·P z) P)
22 addclpr 6513 . . . 4 (((x ·P w) P (y ·P z) P) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) P)
2319, 21, 22syl2anc 391 . . 3 (((x P y P) (z P w P)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) P)
2417, 23jca 290 . 2 (((x P y P) (z P w P)) → (((x ·P z) +P (y ·P w)) P ((x ·P w) +P (y ·P z)) P))
25 mulclpr 6543 . . . . 5 ((x P v P) → (x ·P v) P)
2625ad2ant2r 478 . . . 4 (((x P y P) (v P u P)) → (x ·P v) P)
27 mulclpr 6543 . . . . 5 ((y P u P) → (y ·P u) P)
2827ad2ant2l 477 . . . 4 (((x P y P) (v P u P)) → (y ·P u) P)
29 addclpr 6513 . . . 4 (((x ·P v) P (y ·P u) P) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) P)
3026, 28, 29syl2anc 391 . . 3 (((x P y P) (v P u P)) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) P)
31 mulclpr 6543 . . . . 5 ((x P u P) → (x ·P u) P)
3231ad2ant2rl 480 . . . 4 (((x P y P) (v P u P)) → (x ·P u) P)
33 mulclpr 6543 . . . . 5 ((y P v P) → (y ·P v) P)
3433ad2ant2lr 479 . . . 4 (((x P y P) (v P u P)) → (y ·P v) P)
35 addclpr 6513 . . . 4 (((x ·P u) P (y ·P v) P) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) P)
3632, 34, 35syl2anc 391 . . 3 (((x P y P) (v P u P)) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) P)
3730, 36jca 290 . 2 (((x P y P) (v P u P)) → (((x ·P v) +P (y ·P u)) P ((x ·P u) +P (y ·P v)) P))
38 simp1l 927 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → x P)
39 simp2l 929 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → z P)
40 simp3l 931 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → v P)
41 distrprg 6554 . . . . 5 ((x P z P v P) → (x ·P (z +P v)) = ((x ·P z) +P (x ·P v)))
4238, 39, 40, 41syl3anc 1134 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x ·P (z +P v)) = ((x ·P z) +P (x ·P v)))
43 simp1r 928 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → y P)
44 simp2r 930 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → w P)
45 simp3r 932 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → u P)
46 distrprg 6554 . . . . 5 ((y P w P u P) → (y ·P (w +P u)) = ((y ·P w) +P (y ·P u)))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1134 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y ·P (w +P u)) = ((y ·P w) +P (y ·P u)))
4842, 47oveq12d 5470 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x ·P (z +P v)) +P (y ·P (w +P u))) = (((x ·P z) +P (x ·P v)) +P ((y ·P w) +P (y ·P u))))
4938, 39, 12syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x ·P z) P)
5038, 40, 25syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x ·P v) P)
5143, 44, 14syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y ·P w) P)
52 addcomprg 6544 . . . . 5 ((f P g P) → (f +P g) = (g +P f))
5352adantl 262 . . . 4 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P)) → (f +P g) = (g +P f))
54 addassprg 6545 . . . . 5 ((f P g P P) → ((f +P g) +P ) = (f +P (g +P )))
5554adantl 262 . . . 4 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P P)) → ((f +P g) +P ) = (f +P (g +P )))
5643, 45, 27syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y ·P u) P)
57 addclpr 6513 . . . . 5 ((f P g P) → (f +P g) P)
5857adantl 262 . . . 4 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P)) → (f +P g) P)
5949, 50, 51, 53, 55, 56, 58caov4d 5624 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (((x ·P z) +P (x ·P v)) +P ((y ·P w) +P (y ·P u))) = (((x ·P z) +P (y ·P w)) +P ((x ·P v) +P (y ·P u))))
6048, 59eqtrd 2069 . 2 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x ·P (z +P v)) +P (y ·P (w +P u))) = (((x ·P z) +P (y ·P w)) +P ((x ·P v) +P (y ·P u))))
61 distrprg 6554 . . . . 5 ((x P w P u P) → (x ·P (w +P u)) = ((x ·P w) +P (x ·P u)))
6238, 44, 45, 61syl3anc 1134 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x ·P (w +P u)) = ((x ·P w) +P (x ·P u)))
63 distrprg 6554 . . . . 5 ((y P z P v P) → (y ·P (z +P v)) = ((y ·P z) +P (y ·P v)))
6443, 39, 40, 63syl3anc 1134 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y ·P (z +P v)) = ((y ·P z) +P (y ·P v)))
6562, 64oveq12d 5470 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x ·P (w +P u)) +P (y ·P (z +P v))) = (((x ·P w) +P (x ·P u)) +P ((y ·P z) +P (y ·P v))))
6638, 44, 18syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x ·P w) P)
6738, 45, 31syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (x ·P u) P)
6843, 39, 20syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y ·P z) P)
6943, 40, 33syl2anc 391 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (y ·P v) P)
7066, 67, 68, 53, 55, 69, 58caov4d 5624 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → (((x ·P w) +P (x ·P u)) +P ((y ·P z) +P (y ·P v))) = (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P ((x ·P u) +P (y ·P v))))
7165, 70eqtrd 2069 . 2 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((x ·P (w +P u)) +P (y ·P (z +P v))) = (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P ((x ·P u) +P (y ·P v))))
721, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 24, 37, 60, 71ecovidi 6147 1 ((A R B R 𝐶 R) → (A ·R (B +R 𝐶)) = ((A ·R B) +R (A ·R 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5452  Pcnp 6268   +P cpp 6270   ·P cmp 6271   ~R cer 6273  Rcnr 6274   +R cplr 6278   ·R cmr 6279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-iplp 6443  df-imp 6444  df-enr 6606  df-nr 6607  df-plr 6608  df-mr 6609
This theorem is referenced by:  pn0sr  6651  axmulass  6709  axdistr  6710
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