Theorem diftpsn3 3496

Description: Removal of a singleton from an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
diftpsn3	⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → ({A, B, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {A, B})

Proof of Theorem diftpsn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3375	. . . 4 ⊢ {A, B, 𝐶} = ({A, B} ∪ {𝐶})
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → {A, B, 𝐶} = ({A, B} ∪ {𝐶}))
3	2	difeq1d 3055	. 2 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → ({A, B, 𝐶} ∖ {𝐶}) = (({A, B} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}))
4		difundir 3184	. . 3 ⊢ (({A, B} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({A, B} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶}))
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → (({A, B} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({A, B} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})))
6		df-pr 3374	. . . . . . . . 9 ⊢ {A, B} = ({A} ∪ {B})
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → {A, B} = ({A} ∪ {B}))
8	7	ineq1d 3131	. . . . . . 7 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → ({A, B} ∩ {𝐶}) = (({A} ∪ {B}) ∩ {𝐶}))
9		incom 3123	. . . . . . . . 9 ⊢ (({A} ∪ {B}) ∩ {𝐶}) = ({𝐶} ∩ ({A} ∪ {B}))
10		indi 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐶} ∩ ({A} ∪ {B})) = (({𝐶} ∩ {A}) ∪ ({𝐶} ∩ {B}))
11	9, 10	eqtri 2057	. . . . . . . 8 ⊢ (({A} ∪ {B}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {A}) ∪ ({𝐶} ∩ {B}))
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → (({A} ∪ {B}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {A}) ∪ ({𝐶} ∩ {B})))
13		necom 2283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ A)
14		disjsn2 3424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ≠ A → ({𝐶} ∩ {A}) = ∅)
15	13, 14	sylbi 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ≠ 𝐶 → ({𝐶} ∩ {A}) = ∅)
16	15	adantr 261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∩ {A}) = ∅)
17		necom 2283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ B)
18		disjsn2 3424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ≠ B → ({𝐶} ∩ {B}) = ∅)
19	17, 18	sylbi 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ≠ 𝐶 → ({𝐶} ∩ {B}) = ∅)
20	19	adantl 262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∩ {B}) = ∅)
21	16, 20	uneq12d 3092	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → (({𝐶} ∩ {A}) ∪ ({𝐶} ∩ {B})) = (∅ ∪ ∅))
22		unidm 3080	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
23	21, 22	syl6eq 2085	. . . . . . 7 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → (({𝐶} ∩ {A}) ∪ ({𝐶} ∩ {B})) = ∅)
24	8, 12, 23	3eqtrd 2073	. . . . . 6 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → ({A, B} ∩ {𝐶}) = ∅)
25		disj3 3266	. . . . . 6 ⊢ (({A, B} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ {A, B} = ({A, B} ∖ {𝐶}))
26	24, 25	sylib 127	. . . . 5 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → {A, B} = ({A, B} ∖ {𝐶}))
27	26	eqcomd 2042	. . . 4 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → ({A, B} ∖ {𝐶}) = {A, B})
28		difid 3286	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅)
30	27, 29	uneq12d 3092	. . 3 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → (({A, B} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = ({A, B} ∪ ∅))
31		un0 3245	. . 3 ⊢ ({A, B} ∪ ∅) = {A, B}
32	30, 31	syl6eq 2085	. 2 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → (({A, B} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = {A, B})
33	3, 5, 32	3eqtrd 2073	1 ⊢ ((A ≠ 𝐶 ∧ B ≠ 𝐶) → ({A, B, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {A, B})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ≠ wne 2201   ∖ cdif 2908   ∪ cun 2909   ∩ cin 2910  ∅c0 3218  {csn 3367  {cpr 3368  {ctp 3369

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375

This theorem is referenced by: (None)