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Theorem diffifi 6351
 Description: Subtracting one finite set from another produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
diffifi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffifi
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 905 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2 simp1 904 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 simp3 906 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
4 sseq1 2966 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
54anbi2d 437 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6 difeq2 3056 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∖ ∅))
76eleq1d 2106 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin))
85, 7imbi12d 223 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)))
9 sseq1 2966 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐴𝑦𝐴))
109anbi2d 437 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴)))
11 difeq2 3056 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝑦))
1211eleq1d 2106 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑦) ∈ Fin))
1310, 12imbi12d 223 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)))
14 sseq1 2966 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
1514anbi2d 437 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
16 difeq2 3056 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴𝑤) = (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})))
1716eleq1d 2106 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
1815, 17imbi12d 223 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
19 sseq1 2966 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝐴𝐵𝐴))
2019anbi2d 437 . . . . 5 (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴)))
21 difeq2 3056 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝐵))
2221eleq1d 2106 . . . . 5 (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ∈ Fin))
2320, 22imbi12d 223 . . . 4 (𝑤 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑤𝐴) → (𝐴𝑤) ∈ Fin) ↔ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)))
24 dif0 3294 . . . . . . 7 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
2524eleq1i 2103 . . . . . 6 ((𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)
2625biimpri 124 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
2726adantr 261 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ ∅) ∈ Fin)
28 difun1 3197 . . . . . 6 (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝐴𝑦) ∖ {𝑧})
29 simprl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
30 simprr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3130unssad 3120 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐴)
32 simplr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin))
3329, 31, 32mp2and 409 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)
34 vsnid 3403 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ {𝑧}
35 simprr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3635unssbd 3121 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
3736sseld 2944 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧𝐴))
3834, 37mpi 15 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
3938adantllr 450 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
40 simpllr 486 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑦)
4139, 40eldifd 2928 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
42 diffisn 6350 . . . . . . 7 (((𝐴𝑦) ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → ((𝐴𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
4333, 41, 42syl2anc 391 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴𝑦) ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
4428, 43syl5eqel 2124 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin)) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
4544exp31 346 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)))
468, 13, 18, 23, 27, 45findcard2s 6347 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin))
4746imp 115 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
481, 2, 3, 47syl12anc 1133 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ∖ cdif 2914   ∪ cun 2915   ⊆ wss 2917  ∅c0 3224  {csn 3375  Fincfn 6221 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-er 6106  df-en 6222  df-fin 6224 This theorem is referenced by: (None)
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