Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  difelfzle GIF version

Theorem difelfzle 8992
 Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 8975 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2 elfznn0 8975 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3 nn0z 8265 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
4 nn0z 8265 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
5 zsubcl 8286 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾) ∈ ℤ)
63, 4, 5syl2anr 274 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ∈ ℤ)
76adantr 261 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ ℤ)
8 nn0re 8190 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
9 nn0re 8190 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
10 subge0 7470 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐾) ↔ 𝐾𝑀))
118, 9, 10syl2anr 274 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐾) ↔ 𝐾𝑀))
1211biimpar 281 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑀) → 0 ≤ (𝑀𝐾))
137, 12jca 290 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑀) → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))
1413exp31 346 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀 → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))))
151, 2, 14syl2im 34 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾𝑀 → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))))
16153imp 1098 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))
17 elnn0z 8258 . . 3 ((𝑀𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))
1816, 17sylibr 137 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ ℕ0)
19 elfz3nn0 8976 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20193ad2ant1 925 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21 elfz2nn0 8973 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
2283ad2ant1 925 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
23 resubcl 7275 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀𝐾) ∈ ℝ)
2422, 9, 23syl2an 273 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ∈ ℝ)
2522adantr 261 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
26 nn0re 8190 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
27263ad2ant2 926 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2827adantr 261 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
29 nn0ge0 8207 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
3029adantl 262 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
31 subge02 7473 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀𝐾) ≤ 𝑀))
3222, 9, 31syl2an 273 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀𝐾) ≤ 𝑀))
3330, 32mpbid 135 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑀)
34 simpl3 909 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀𝑁)
3524, 25, 28, 33, 34letrd 7138 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁)
3635ex 108 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
3721, 36sylbi 114 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
381, 37syl5com 26 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
3938a1dd 42 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁)))
40393imp 1098 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁)
41 elfz2nn0 8973 . 2 ((𝑀𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑀𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1088 1 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ (0...𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  0cc0 6889   ≤ cle 7061   − cmin 7182  ℕ0cn0 8181  ℤcz 8245  ...cfz 8874 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator