ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dftpos3 Structured version   GIF version

Theorem dftpos3 5818
Description: Alternate definition of tpos when 𝐹 has relational domain. Compare df-cnv 4296. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos3 (Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ⟨y, x𝐹z})
Distinct variable group:   x,y,z,𝐹

Proof of Theorem dftpos3
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 4646 . . . . . . . . . 10 Rel dom 𝐹
2 dmtpos 5812 . . . . . . . . . . 11 (Rel dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 = dom 𝐹)
32releqd 4367 . . . . . . . . . 10 (Rel dom 𝐹 → (Rel dom tpos 𝐹 ↔ Rel dom 𝐹))
41, 3mpbiri 157 . . . . . . . . 9 (Rel dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
5 reltpos 5806 . . . . . . . . 9 Rel tpos 𝐹
64, 5jctil 295 . . . . . . . 8 (Rel dom 𝐹 → (Rel tpos 𝐹 Rel dom tpos 𝐹))
7 relrelss 4787 . . . . . . . 8 ((Rel tpos 𝐹 Rel dom tpos 𝐹) ↔ tpos 𝐹 ⊆ ((V × V) × V))
86, 7sylib 127 . . . . . . 7 (Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 ⊆ ((V × V) × V))
98sseld 2938 . . . . . 6 (Rel dom 𝐹 → (w tpos 𝐹w ((V × V) × V)))
10 elvvv 4346 . . . . . 6 (w ((V × V) × V) ↔ xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩)
119, 10syl6ib 150 . . . . 5 (Rel dom 𝐹 → (w tpos 𝐹xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩))
1211pm4.71rd 374 . . . 4 (Rel dom 𝐹 → (w tpos 𝐹 ↔ (xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z w tpos 𝐹)))
13 19.41vvv 1781 . . . . 5 (xyz(w = ⟨⟨x, y⟩, z w tpos 𝐹) ↔ (xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z w tpos 𝐹))
14 eleq1 2097 . . . . . . . 8 (w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨x, y⟩, z tpos 𝐹))
15 df-br 3756 . . . . . . . . 9 (⟨x, y⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨⟨x, y⟩, z tpos 𝐹)
16 vex 2554 . . . . . . . . . 10 x V
17 vex 2554 . . . . . . . . . 10 y V
18 vex 2554 . . . . . . . . . 10 z V
19 brtposg 5810 . . . . . . . . . 10 ((x V y V z V) → (⟨x, y⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨y, x𝐹z))
2016, 17, 18, 19mp3an 1231 . . . . . . . . 9 (⟨x, y⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨y, x𝐹z)
2115, 20bitr3i 175 . . . . . . . 8 (⟨⟨x, y⟩, z tpos 𝐹 ↔ ⟨y, x𝐹z)
2214, 21syl6bb 185 . . . . . . 7 (w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w tpos 𝐹 ↔ ⟨y, x𝐹z))
2322pm5.32i 427 . . . . . 6 ((w = ⟨⟨x, y⟩, z w tpos 𝐹) ↔ (w = ⟨⟨x, y⟩, zy, x𝐹z))
24233exbii 1495 . . . . 5 (xyz(w = ⟨⟨x, y⟩, z w tpos 𝐹) ↔ xyz(w = ⟨⟨x, y⟩, zy, x𝐹z))
2513, 24bitr3i 175 . . . 4 ((xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z w tpos 𝐹) ↔ xyz(w = ⟨⟨x, y⟩, zy, x𝐹z))
2612, 25syl6bb 185 . . 3 (Rel dom 𝐹 → (w tpos 𝐹xyz(w = ⟨⟨x, y⟩, zy, x𝐹z)))
2726abbi2dv 2153 . 2 (Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 = {wxyz(w = ⟨⟨x, y⟩, zy, x𝐹z)})
28 df-oprab 5459 . 2 {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ⟨y, x𝐹z} = {wxyz(w = ⟨⟨x, y⟩, zy, x𝐹z)}
2927, 28syl6eqr 2087 1 (Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ⟨y, x𝐹z})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  Vcvv 2551  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755   × cxp 4286  ccnv 4287  dom cdm 4288  Rel wrel 4293  {coprab 5456  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-oprab 5459  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  tposoprab  5836
  Copyright terms: Public domain W3C validator