Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dftpos3 Structured version   GIF version

Theorem dftpos3 5795
 Description: Alternate definition of tpos when 𝐹 has relational domain. Compare df-cnv 4276. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos3 (Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ⟨y, x𝐹z})
Distinct variable group:   x,y,z,𝐹

Proof of Theorem dftpos3
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 4626 . . . . . . . . . 10 Rel dom 𝐹
2 dmtpos 5789 . . . . . . . . . . 11 (Rel dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 = dom 𝐹)
32releqd 4347 . . . . . . . . . 10 (Rel dom 𝐹 → (Rel dom tpos 𝐹 ↔ Rel dom 𝐹))
41, 3mpbiri 157 . . . . . . . . 9 (Rel dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
5 reltpos 5783 . . . . . . . . 9 Rel tpos 𝐹
64, 5jctil 295 . . . . . . . 8 (Rel dom 𝐹 → (Rel tpos 𝐹 Rel dom tpos 𝐹))
7 relrelss 4767 . . . . . . . 8 ((Rel tpos 𝐹 Rel dom tpos 𝐹) ↔ tpos 𝐹 ⊆ ((V × V) × V))
86, 7sylib 127 . . . . . . 7 (Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 ⊆ ((V × V) × V))
98sseld 2917 . . . . . 6 (Rel dom 𝐹 → (w tpos 𝐹w ((V × V) × V)))
10 elvvv 4326 . . . . . 6 (w ((V × V) × V) ↔ xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩)
119, 10syl6ib 150 . . . . 5 (Rel dom 𝐹 → (w tpos 𝐹xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩))
1211pm4.71rd 374 . . . 4 (Rel dom 𝐹 → (w tpos 𝐹 ↔ (xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z w tpos 𝐹)))
13 19.41vvv 1762 . . . . 5 (xyz(w = ⟨⟨x, y⟩, z w tpos 𝐹) ↔ (xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z w tpos 𝐹))
14 eleq1 2078 . . . . . . . 8 (w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨x, y⟩, z tpos 𝐹))
15 df-br 3735 . . . . . . . . 9 (⟨x, y⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨⟨x, y⟩, z tpos 𝐹)
16 vex 2534 . . . . . . . . . 10 x V
17 vex 2534 . . . . . . . . . 10 y V
18 vex 2534 . . . . . . . . . 10 z V
19 brtposg 5787 . . . . . . . . . 10 ((x V y V z V) → (⟨x, y⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨y, x𝐹z))
2016, 17, 18, 19mp3an 1215 . . . . . . . . 9 (⟨x, y⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨y, x𝐹z)
2115, 20bitr3i 175 . . . . . . . 8 (⟨⟨x, y⟩, z tpos 𝐹 ↔ ⟨y, x𝐹z)
2214, 21syl6bb 185 . . . . . . 7 (w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w tpos 𝐹 ↔ ⟨y, x𝐹z))
2322pm5.32i 430 . . . . . 6 ((w = ⟨⟨x, y⟩, z w tpos 𝐹) ↔ (w = ⟨⟨x, y⟩, zy, x𝐹z))
24233exbii 1476 . . . . 5 (xyz(w = ⟨⟨x, y⟩, z w tpos 𝐹) ↔ xyz(w = ⟨⟨x, y⟩, zy, x𝐹z))
2513, 24bitr3i 175 . . . 4 ((xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z w tpos 𝐹) ↔ xyz(w = ⟨⟨x, y⟩, zy, x𝐹z))
2612, 25syl6bb 185 . . 3 (Rel dom 𝐹 → (w tpos 𝐹xyz(w = ⟨⟨x, y⟩, zy, x𝐹z)))
2726abbi2dv 2134 . 2 (Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 = {wxyz(w = ⟨⟨x, y⟩, zy, x𝐹z)})
28 df-oprab 5436 . 2 {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ⟨y, x𝐹z} = {wxyz(w = ⟨⟨x, y⟩, zy, x𝐹z)}
2927, 28syl6eqr 2068 1 (Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ⟨y, x𝐹z})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1226  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  {cab 2004  Vcvv 2531   ⊆ wss 2890  ⟨cop 3349   class class class wbr 3734   × cxp 4266  ◡ccnv 4267  dom cdm 4268  Rel wrel 4273  {coprab 5433  tpos ctpos 5777 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-fv 4833  df-oprab 5436  df-tpos 5778 This theorem is referenced by:  tposoprab  5813
 Copyright terms: Public domain W3C validator